[TJOI2015]概率论

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#数据结构与算法

本文解析了TJOI2015的一道概率论题目，通过定义期望和卡特兰数，得出n个点的二叉树叶子节点数与树的数量之间的关系，最终给出简洁的解答公式。

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[TJOI2015]概率论

史上最短黑题

看起来一脸懵逼，没有取模，1e-9

根据期望定义，发现

分母是一个卡特兰数，，，，不能直接算

所以考虑怎么消掉一些东西

gn表示n个点的叶子个数和，fn表示n个点二叉树个数

结论：g(n)=n*f(n-1)

考虑每个n个点的树的叶子，分别拔掉所有k个叶子，给剩下的k个(n-1)个点的树打上标记

那么，g(n)就是n-1个点的所有的树被打的标记之和

一个n-1个点的树，有n个位置可以有叶子，恰好会被打n次标记！

然后，ans(n)=g(n)/f(n)，f(n)=C(2n,n)/(n+1)化简即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}

namespace Miracle{
int main(){
    double n;cin>>n;
    printf("%.12lf",n*(n+1)/(2*(2*n-1)));
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/4/23 14:29:28
*/