BZOJ4001: [TJOI2015]概率论（OGF）

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题意：
求n个节点二叉树的叶子结点期望数量。

题解：
设$C(n)$为卡特兰数。
首先$n$个节点的二叉树个数为$C(n)$。
设$f(n)$为$n$个节点的二叉树的叶子结点个数和。
则$ans=\frac{f(n)}{C(n)}$

又有$f(n)=2*\sum\limits_{i=0}^{n}f(i)C(n-i-1) (n\ge 2)$。
$f(1)=1$（因为此时根节点为叶子）。

构造一般形生成函数$F(x),G(x)$分别表示$f,C$的生成函数。

根据递推关系，有：
$F(x)=2x(F(x)*G(x))+x,G(x)=x·G^2(x)+1$。

解方程得:

$$G(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$

注意此时舍去另一个根的原因是因为另一个函数在$0$处不收敛。

那么解得

$$F(n)=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}$$

用广义二项式定理展开，一波化简可得$F(n)$的第$x^{n+1}$的系数（这里仅仅是为了计算方便才取的$n+1$,直接减1就好了）为$\frac{2n!}{n!n!}$。

卡特兰数通项公式:$C(n)=\frac{2n!}{n!(n+1)!}$。

化一化简即可。

最后得到公式$x_{n+1}=\frac{(n+2)(n+1)}{(4n+2)}$