欧拉回路与欧拉路径

欧拉回路与欧拉路径

如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(欧拉通路)。

如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)。

说的直白点，欧拉回路就是从一个点出发，经过每一条边恰好一次，最后能回到这个点的路径

例如下图中的红色路径组成了一个欧拉回路

存在条件

欧拉回路的充要条件

• 无向图：所有点的度数都为偶数

• 有向图：所有点的入度都等于出度

欧拉路径的充要条件

• 无向图：除两点(起点与终点)外其余所有点的度数都为偶数

• 有向图：除两点(起点入度\(+1\)=出度，终点入度\(-1\)等于出度)外，其余所有点的入度等于出度

判断方法

利用并查集判断

若给出的图满足欧拉回路/欧拉路径的重要条件且并查集成功合并的 次数\(>=\)点数\(-1\)，则证明含有欧拉回路/欧拉路径

欧拉路径：洛谷P1333

欧拉回路：HDU 1878

dfs

如果要求输出方案，那么只能用dfs

UOJ 117

拓展

这里再补充一种两笔画问题

解决方法比较简单

有解当且仅当度数为奇数的点不超过4个。

将其中两个点加一条边后求欧拉路径，在这条边处断开变成两条路径即可。

时间复杂度\(O(m)\)

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