欧拉回路

一，定理及推论

      1，无向图存在欧拉通路的充要条件，为连通图，仅存在两个奇度节点，或无奇度结点

      2，无向图存在欧拉回路的条件，为连通图，不存在奇度点

     3，有向图存在欧拉通路的条件，连通，所有点的出度等于入度，或仅存在两个顶点出度不等于入度，出、入度之          差为1的为起点，出入度之差为-1的为终点

     4，有向图存在欧拉回路的条件，连通，所有点的出度等于入度

二 、欧拉图的判定

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     无向图判断是否存在欧拉回路

     1.是连通图     2.无奇数度的点

     连通图的判断可以用并查集，判断有误奇数点只要用一个数组记录就可以

     有向图判断是否存在欧拉回路

     1.是连通图    2，所有点的出度等于入度

      与无向图类似，区别在于用两个数组分别记录顶点的出度数和入度数

三、欧拉通路的判定

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             题意：
             一幅无向图，每条边只能经过一次，需要几次才能经过所有的边
            输入n,m,n个点，m条边接着m行数据每行表示起点和终点

        思路：一副连通的图，有几对奇数点度，就要相应的次数遍历完
                 1.需要判断有几幅连通图,单源点应该排除，输入的时候
                  不输入
                 2.每一幅图判断几对奇数点，奇数点个数除 2 等于
                 需要遍历的次数

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int od[100005];//记录节点度数
int father[100005];//父节点
int rk[100005];//优化
int vis[100005];//记录父节点
int num[100005];//连通图奇数度节点个数


int find(int x)
{
   if (x!=father[x])
   return find(father[x]);
   else
   return x;
}

void hebing(int x,int y)
{
   if (rk[x]>rk[y])
   {
      father[x]=y;
   }
   else
   {
      father[y]=x;
      if (rk[x]==rk[y])
      rk[x]++;
   }
}

int main()
{
   int n,m,sum;
   int i,j,k,a,b;
   while (~scanf ("%d %d",&n,&m))
   {
      sum=0;
      memset(od,0,sizeof(od));
      memset(vis1,0,sizeof(vis1));
      for (i=0; i<=n; i++)
      {
         father[i]=i;
         rk[i]=0;
         vis[i]=0;
         num[i]=0;
      }

      for (i=0; i<m; i++)
      {
         scanf ("%d%d",&a,&b);
         if (a==b)//排除单源点
         continue;

         od[a]++; od[b]++;

         if (find(a)!=find(b))
         hebing(find(a),find(b));//生成连通图
      }

      for (i=1; i<=n; i++)
      {
         if (od[i]!=0)//改点在图内
         {
            if (od[i]%2!=0)
            {
               num[find(i)]++;//记录每个连通图所有奇数度的个数
               vis[find(i)]=1;//该连通图已经被找过
            }
         }
      }

      for (i=1; i<=n; i++)
      {
         if (od[i]!=0)
         {
            if (!vis[find(i)])//是连通图但是不存在奇数度点
            {
                num[find(i)]++;
                vis[find(i)]=2;
            }
            else
            if (vis[find(i)]==1)//存在奇数度的连通图除 2
            {
               num[find(i)]/=2;
               vis[find(i)]=2;
            }
         }
      }

      for (i=1; i<=n; i++)
      {
         sum+=num[i];
      }
      printf("%d\n",sum);
   }
}

练习