欧拉函数

最新推荐文章于 2025-04-10 08:00:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/mch5201314/p/9713574.html

一些定义

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。

欧拉函数的值　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

　例如：φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。（即p不能重复）比如12=223那么φ（12）=12（1-1/2）(1-1/3)）=4

推论：当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

代码实现

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std; 
#define ll long long
int euler(int n){
    int a=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0) {
            a=a-a/i;
        while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) a=a-a/n;//当n本身是质数的时候 
    return a;
} 
int main(){
    int n;
    while(cin>>n){
        cout<<euler(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/mch5201314/p/9713574.html