01背包问题

问题描述：

   有N件物品和一个载重量为C的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

问题特点：

   每种物品仅有一件，可以选择放或不放。（0：不放  1：放）

基本思路：

   用p[i][j]表示从i件物品中选择物品放入一个容量为j的背包中可以获得的最大价值。得到如下关系：

   1.p[i][0] = p[0][j] = 0 ··········· （1）

   2.p[i][j] = p[i - 1][j] (当j < w[i]) ············· （2）

      p[i][j] = max{p[i - 1][j], p[i - 1][j - w[i]] + v[i]} （当j > w[i]）·············（3）

   以下解释这几个式子的含义。

   （1）式：当物品数量为0或者背包载重量为0时，显然最大价值为0.

   （2）式：当背包载重量j小于第i个物品的重量w[i]时，第i个物品无法装入背包，故此p[i][j] = p[i - 1][j]。

   （3）式：这是最关键的式子。当背包容量j大于第i个物品的重量w[i]时，产生两种选择：将第i个物品放进背包或不放进背包。由于只有两种情况，因此只需比较这两种情况下所取得的最大总价值，然后取较大者。max{···，···}中，p[i - 1][j]是不把第i件物品放进背包时所能获得的最大价值，p[i - 1][j - w[i]] + v[i]是把第i件物品放进背包时所能取得的最大价值。p[i - 1][j - w[i]] + v[i]这条式子如何理解？其实很简单。背包载重量为j，当把第i件物品放进背包时，用来容纳前i - 1件物品的容量只剩下j - w[i]，p[i - 1][j - w[i]]就是前i - 1件物品在背包载重余量为j - w[i]的情况下所能取得的最大价值，再加上第i件物品的价值v[i]，就得到把第i件物品放入背包时所能取得的最大价值。

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