分治FFT/NTT

粘板子:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 998244353;
const int N = 100050;
const int M = N*3;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x = f*c;
}
template<typename T>inline void Mod(T&x){if(x>=MOD)x-=MOD;}
int fastpow(int x,int y)
{
    int ret = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int inv(int x){return fastpow(x,MOD-2);}
int to[M],lim,L,LL[M];
void init(int len)
{
    lim=LL[2]=1;
    while(lim<len)lim<<=1,LL[lim<<1]=LL[lim]+1;
}
void get_lim(int len)
{
    lim = len,L = LL[len];
    for(int i=1;i<=lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)));
}
void ntt(int*a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        int w0 = fastpow(3,(MOD-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            int w = 1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=1ll*w*w0%MOD)
            {
                int w1 = a[j+o],w2 = 1ll*a[j+o+i]*w%MOD;
                Mod(a[j+o] = w1+w2);
                Mod(a[j+o+i] = w1+MOD-w2);
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        for(int i=1;i<len>>1;i++)swap(a[i],a[len-i]);
        int Inv = inv(len);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*Inv%MOD;
    }
}
int a[M],b[M],c[M];
int f[M],g[M],n;
void cdq(int l,int r)
{
    if(l==r)return ;
    int mid = (l+r)>>1;
    cdq(l,mid);
    get_lim(2*(r-l+1));
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<=mid-l;i++)a[i]=f[l+i];
    for(int i=1;i<=r-l+1;i++)b[i]=g[i];
    ntt(a,lim,1),ntt(b,lim,1);
    for(int i=0;i<=lim;i++)c[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
    ntt(c,lim,-1);
    for(int i=mid+1-l;i<=r-l;i++)Mod(f[i+l]+=c[i]);
    cdq(mid+1,r);
}
int main()
{
//    freopen("tt.in","r",stdin);
    read(n);init(n<<1);f[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)read(g[i]);
    cdq(0,lim-1);
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",f[i]);
    puts("");
    return 0;
}
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转载于:https://www.cnblogs.com/LiGuanlin1124/p/11162009.html

快速傅里叶变换(FFT)是处理数字信号的重要工具,而数论变换(NTT)则是在特定模数下进行的快速变换,常用于大整数乘法或多项式乘法中,以避免浮点数精度问题。NTT 依赖于原根和模数的性质,其基本思想与 FFT 类似,但所有运算都在模数下进行。 以下是一个 NTT 的基本实现示例,适用于模数为形如 $ p = r \cdot 2^k + 1 $ 的质数,并且要求输入长度为 $ 2 $ 的幂: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD = 998244353, G = 3, MAXN = (1 << 21); ll pow_mod(ll a, ll b, ll mod) { ll res = 1; while (b) { if (b & 1) res = res * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return res; } void ntt(vector<ll>& a, int op) { int n = a.size(); vector<ll> b = a; for (int i = 0; i < n; i++) { int rev = 0; for (int j = 0; j < log2(n); j++) rev |= ((i >> j) & 1) << (log2(n) - 1 - j); b[rev] = a[i]; } a = b; for (int h = 2; h <= n; h <<= 1) { ll gn = pow_mod(G, (MOD - 1) / h, MOD); for (int i = 0; i < n; i += h) { ll g = 1; for (int j = 0; j < h / 2; j++) { ll u = a[i + j], v = a[i + j + h / 2] * g % MOD; a[i + j] = (u + v) % MOD; a[i + j + h / 2] = (u - v + MOD) % MOD; g = g * gn % MOD; } } } if (op == -1) { reverse(a.begin() + 1, a.end()); ll inv = pow_mod(n, MOD - 2, MOD); for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = a[i] * inv % MOD; } } vector<ll> multiply(vector<ll> a, vector<ll> b) { int n = 1; while (n < a.size() + b.size()) n <<= 1; a.resize(n), b.resize(n); ntt(a, 1), ntt(b, 1); for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = a[i] * b[i] % MOD; ntt(a, -1); return a; } int main() { vector<ll> a = {1, 2, 3}, b = {4, 5, 6}; vector<ll> res = multiply(a, b); for (ll x : res) cout << x << " "; return 0; } ``` ### NTT 的应用 - **大整数乘法**:将两个大整数表示为多项式,通过 NTT 实现快速乘法。 - **卷积计算**:在信号处理中,两个信号的卷积可通过 NTT 实现快速计算。 - **多项式求逆、开方、指数、对数等操作**:这些操作在现代算法竞赛中广泛使用。 ### 学习资源推荐 1. **《算法导论》**:第 30 章详细讲解了快速傅里叶变换,NTT 可视为其模运算下的变种。 2. **OI Wiki**:提供了 NTT 的数学基础、实现细节和典型应用。 3. **Codeforces 和 AtCoder**:许多竞赛题涉及 NTT 的使用,如多项式乘法、组合数学问题等。 4. **洛谷题库**: - P3803 【模板】多项式乘法(FFT/NTT) - P4245 【模板】任意模数多项式乘法(三模数 NTT) - P4721 【模板】分治 FFT ###
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