[HNOI2006] 鬼谷子的钱袋

欧拉函数

传送门：$>here<$

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题意：求最少将$n$分解成几个数，使得他们能组合出$n$以内的所有数。并且需要满足只有数值$1$能够重复。

数据范围：$n \leq 1e9$

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$Solution$

如果没有"只有1能重复"这个条件，那么答案就是将$n$分解为$1,2,4,8...$这个序列，最后一个数是剩下来的数。

为什么这样是最优解？考虑二进制，每一位是1或0就表示当前这个数字取或不取。每个整数都可以转二进制，因此每个整数都能被表示出来。

那么关键在于最优一个数如果不为1，并且恰好是2的幂，那么就会冲突。假设冲突的这个数是$x$。假设我们表示一个数不需要用到$x$那么不管。如果要用$x$，此时1这一位有两种情况：用于不用。如果恰好要使用1，那么我们用数字$x+1$即可代替，1和$x$。如果不用1，那么我们可以用$x-1$和1来代替它。因此碰到冲突情况，分别+1-1就好了。

反思

这题现在想来依然不简单，说明依然不是很彻底。关于正确性的证明还是有点不太清楚。

$my \ code$

/*By DennyQi 2018*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 20010;
const int INF = 1061109567;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
int M,rem,tot,N;
int ans[500010];
int main(){
    M = read();
    for(int i = 1; ; i *= 2){
        if(N + i <= M){
            ans[++tot] = i;
            N += i;
        }
        else break;
    }
    if(N < M){
        ans[++tot] = M-N;
    }
    if(M-N > 1){
        for(int i = 2; i < tot; ++i){
            if(M-N == ans[i]){
                ans[i]--;
                ans[tot]++;
                break;
            }
        }    
    }
    sort(ans+1,ans+tot+1);
    printf("%d\n", tot);
    for(int i = 1; i <= tot; ++i) printf("%d ", ans[i]);
    return 0;
}

 

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