数论随记(二)

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本文详细解读了HDU平台上的数论与算法竞赛题，涵盖了从基本公式到复杂定理的全面解析，包括中国剩余定理、容斥原理、莫比乌斯反演等核心概念，以及快速幂取模、规律总结、数论四大定理等进阶技巧。通过实例分析与代码实现，旨在帮助读者深入理解并掌握这些关键算法与数学理论，为参与类似竞赛或解决实际问题提供有力支撑。

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HDU1573 /*中国剩余定理*/

10. 公式

1. ab(mod m) (a mod m) b (mod m) (化简);

HDU1395 (2^x 1(mod n) 2^x%n 1(mod n) )

2. xa(mod m) x*ka*k(mod m);

3. xn-a(mod m) x+an(mod m); HDU1788

4. gcd(a,b)=k gcd(a/k,b/k)=1;

5. a%k= (变型： %k= ) HDU1852

如果m与k互素，则(a/m)%k=a*m^(phi(k)-1)%k

6. a≡b（mod m）,c≡d（mod m） a±c≡b±d（mod m） ac≡bd（mod m）

11. 容斥原理

HDU1695 /*容斥，欧拉*/ /*莫比乌斯反演*/

12. 莫比乌斯反演

反演公式：

（形式二：）

其中，

为积性函数，称为莫比乌斯函数。

|| 性

\/ 质
1.

HDU1695 /**/

13. 规律

1. a+b+ab (a+1)(b+1)-1

n=(a+1)(b+1)-1=(a1+1)(a2+1)(b1+1)(b2+1)-1=…=(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(+1)-1

HDU1719

14. 快速幂取模

二分思想，秦九昭算法

typedef long long LL;

LL quick_mod(LL a,LL b,LL k)

{

LL ans=1;

while(b>0)

{

if(b&1)

{

ans=ans*a%k;

}

a=a*a%k;

b>>=1;

}

return ans;

}

15. 数论四大定理

1.威尔逊定理

若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

2. 欧拉定理

若gcd(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

3. 费马小定理

p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），

若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。

(费马大定理)当整数时，关于的方程没有正整数解。

(伪素数)满足公式但P非质数。若n能整除2^(n-1)-1，并n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。HDU1905

(卡米切尔数) 对于合数n，如果对于所有正整数b，b和n互素，都有同余式b^(n-1)≡ 1 (mod n)成立，则合数n为Carmichael数。

4.中国剩余定理

见9.

16. 矩阵

1.乘法：*

每一项：= * 三重循环(i,j,k)

不满足交换律

2.转置

。

17. 高斯消元

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