【题解】魔法阵

最新推荐文章于 2024-02-21 14:54:21 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/kcn999/p/11200846.html

题目描述

　　六十年一次的魔法战争就要开始了，大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。

　　大魔法师有m个魔法物品，编号分别为1，2，...，m。每个物品具有一个魔法值，我们用xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值xi是不超过n的正整数，可能有多个物品的魔法值相同。

　　大魔法师认为，当且仅当四个编号为a，b，c，d的魔法物品满足xa＜xb＜xc＜xd，xb−xa=2（xd−xc），并且xb−xa＜（xc−xb）÷3时，这四个魔法物品形成了一个魔法阵，他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品，B物品，C物品，D物品。

　　现在，大魔法师想要知道，对于每个魔法物品，作为某个魔法阵的A物品出现的次数，作为B物品的次数，作为C物品的次数，和作为D物品的次数。

输入格式

　　第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。

　　接下来m行，每行一个正整数，第i+1行的正整数表示xi，即编号为i的物品的魔法值。

　　保证1≤n≤ 15000，1≤m≤40000，1≤xi≤n。每个xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。

输出格式

　　输出m行，每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作为A，B，C，D物品分别出现的次数。

　　保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。

输入样例

30 8

输出样例

4 0 0 0

0 0 1 0

0 2 0 0

0 0 1 1

1 3 0 0

0 0 0 2

0 0 2 2

0 0 1 0

题解

　　朴素的方法自然是枚举$a$、$b$、$c$、$d$，但是四个未知数显然不科学。所以我们要消元，用一两个未知数来表示他们之间的关系。

　　因为有$x_{b} - x_{a} = 2(x_{d} - x_{c})$，我们可以设$x_{d} - x_{c} = i$，则$x_{b} - x_{a} = 2i$。

　　又因为有$3(x_{b} - x_{a}) < x_{c} - x_{b}$，即$6i < x_{c} - x_{b}$，所以我们又设$6i + k = x_{c} - x_{b}$。

　　则此时我们已知方程组：

　　$$\left \{ \begin{matrix} x_{a} + 2i = x_{b} \\ x_{b} + 6i + k = x_{c} \\ x_{c} + i = x_{d} \end{matrix} \right.$$

　　所以，我们就只需要枚举$i$和$k$了。

　　我们设$x_{i}$的个数为$f[x_{i}]$，设$t[x_{i}][A,B,C,D]$分别表示$x_{i}$作为$A,B,C,D$物品的次数。

　　又设已知$a,b$时，$c,d$的个数为$sum_{1}$；已知$c,d$时，$a,b$的个数为$sum_{2}$。

　　易得：

　　$$\begin{align*} t[x_{a}][A] &= f[x_{b}] \times sum_{1} \\ t[x_{b}][B] &= f[x_{a}] \times sum_{1} \\ t[x_{c}][C] &= f[x_{d}] \times sum_{2} \\ t[x_{d}][D] &= f[x_{c}] \times sum_{2} \end{align*}$$

　　我们在枚举$a,b(c,d)$的时候，也不断累加$sum_{1}(sum_{2})$即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define MAX_N (15000 + 5)
#define MAX_M (50000 + 5)

using namespace std;

int n, m;
int x[MAX_M];
int f[MAX_N];
long long t[MAX_N][4];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(register int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        scanf("%d", x + i);    
        ++f[x[i]];
    }
    int a, b, c, d;
    long long sum;
    for(register int i = 1; 9 * i + 1 < n; ++i)
    {
        a = n - 9 * i - 1;
        b = n - 7 * i - 1;
        c = n - i;
        d = n;
        sum = 0;
        while(a)
        {
            sum += f[c] * f[d];
            t[a][0] += f[b] * sum;
            t[b][1] += f[a] * sum;
            --a;
            --b;
            --c;
            --d;
        }
        a = 1;
        b = 2 * i + 1;
        c = 8 * i + 2;
        d = 9 * i + 2;
        sum = 0;
        while(d <= n)
        {
            sum += f[a] * f[b];
            t[c][2] += f[d] * sum;
            t[d][3] += f[c] * sum;
            ++a;
            ++b;
            ++c;
            ++d;
        }
    }
    for(register int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        printf("%lld %lld %lld %lld\n", t[x[i]][0], t[x[i]][1], t[x[i]][2], t[x[i]][3]);
    }
    return 0;
}