Count Primes

最新推荐文章于 2025-09-07 20:32:33 发布

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文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/NickyYe/p/4588021.html

本文介绍了两种有效的质数计数方法。首先通过优化试除法减少不必要的运算，并使用埃拉托斯特尼筛法高效筛选出指定范围内所有质数。

https://leetcode.com/problems/count-primes/

Description:

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

解题思路：

如何判定一个数为质数？1. 质数最小的是2。2.质数的定义是，除了1和他自己，没有其他数能整除它。

很容易想到最朴素的解法，从2到n-1，每个数字i都用2到i-1的数字去除，有一个可以整除它，就不是质数。

这个解法时间复杂度为O(n^2)。想想会有不少能改进的地方。

1. 不用2到i-1的除。从2到sqrt(i)即可，很容易理解吧。

2. 如果2不能整除，也不用尝试4、6、8……所有的偶数了。

3. 那么除了2以外，只要看质数。但是如果3不能整除，好像6、9、12……也肯定不能整除。5同理。

事实上，这是一个定理。将该数N用小于等于sqrt{N}的所有素数去试除，若均无法整除，则N为素数。原理就是，一个合数的因数，肯定能分解成n个质数的乘积。

也就是，只要用质数去整除他就可以了，当然这里包含了2。 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0

解法如下：

这里将前面已经得出的prime都记录下来了，用来继续判断后面的prime。

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        int count = 0;
        List<Integer> primes = new ArrayList<Integer>();
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            boolean isPrime = true;
            // 将该数N用小于等于sqrt{N}的所有素数去试除，若均无法整除，则N为素数
            for(Integer prime : primes) {
                if(prime > Math.sqrt(i)) {
                    break;
                }
                if(i % prime == 0) {
                    isPrime = false;
                    break;
                }
            }
            if(isPrime) {
                count++;
                primes.add(i);
            }
        }
        return count;
    }
}

但是，上面的解法还会重复判断。对后面的每个数字，还是要从前面已经得出的所有prime里面，循环再判断一遍。

下面是一个远古希腊大神，埃拉托斯特尼，提出的筛选法。啥叫筛选法，直接表述吧，理解了写代码是很简单。

给出要筛数值的范围n，找出 $\sqrt{n}$ 以内的素数 $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ 。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E6%8B%89%E6%89%98%E6%96%AF%E7%89%B9%E5%B0%BC%E7%AD%9B%E6%B3%95

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        int count = 0;
        int[] filter = new int[n];//0是质数，1不是
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            if(filter[i] == 1) {
                continue;
            }
            count++;
            for(int j = i * 2; j < n; j = j + i) {
                filter[j] = 1;
            }
        }
        return count;
    }
}