学数答题160910-函数方程

题160910（14分）已知$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的单调函数，且对任意$x>0$，有$f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$，求$f(x)$．

解：由题意，有$f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)\cdot f\left( f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right)=1$，

又$f(x)\cdot f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)=1$，于是$f\left( f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right)=f(x)$．

由于$f(x)$是单调函数，因此$f\left( f(x)+\dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$，

即$\dfrac{1}{f(x)}+\dfrac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$，解得$f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2x}$或$f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$．

经验证，这两个函数均符合题意，

这样就得到了所有符合题意的$f(x)$．

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