[学习笔记]线性筛

最新推荐文章于 2025-01-07 19:41:42 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/AireenYe/p/5821028.html

介绍了欧拉筛法的基本原理及其线性复杂度特性，利用该方法可以有效地筛选出素数并计算积性函数如欧拉函数和莫比乌斯函数的值。通过具体的实现代码展示了如何进行高效计算。

素数

欧拉筛法保证每个合数只会被其最小的素数筛掉，所以复杂度是线性的。

我们还能用此方法，筛出其他一些积性函数的值。

积性函数:若 $(a,b)=1$ ,则 $f(ab)=f(a)\;\times\;f(b)$ .

int p[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]) p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])) break;
        }        
    }
}

每次 $p[j]|i$ 时跳出循环能保证每个合数只会被其最小的素数筛掉，因为 $i$\times$p[k](k>j)$ 的最小素数为 $p[j]$ 。

欧拉函数

欧拉函数 $$\phi(x)$ 的定义：小于等于 $x$ 的正整数中与 $x$ 互质的数的个数。

$\phi(x)=\begin{cases}1&x=1\\x-1&x\;is\;prime\\ x\prod_{i=1}^{k}$\frac{p_{i}-1}{p_{i}}$&x=p_1^{a_1}$\times$p_2^{a_2}$\times\dots\times$p_k^{a_k}\\\end{cases}$

证明:

如果 $n$ 为某一素数 $p$ ，则 $\phi(p)=p-1$ .
如果 $n$ 为某一素数 $p$ 的幂次 $p^a$ ， $\phi(p^a)=(p-1)\;\times\;p^{a-1}$ .
欧拉函数是积性函数，即当 $(a,b)=1$ 时 $f(ab)=f(a)\;\times\;f(b)$ .
若 $x=p_1^{a_1}$\times$p_2^{a_2}$\times\dots\times$p_k^{a_k}$ ,
则 $\phi(x)=\prod_{i=1}^{k}(p_i-1)\;\times\;p_i^{a_i-1}=x\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$ .

设 $p$ 为 $x$ 最小的质数， $x'=x/p$ ，在线性筛中， $x$ 被筛 $p$\times$x'$ 掉。

当 $x'\;mod\;p\not=0$ 时， $\phi(x)=p$\times$x'\times$\frac{p-1}{p}$\prod_{i=1}^{k'}$\frac{p_{i}-1}{p_{i}}$=(p-1)\times\phi(x')$ ；

当 $x'\;mod\;p=0$ 时， $\phi(x)=p$\times$x'\times\prod_{i=1}^{k'}$\frac{p_{i}-1}{p_{i}}$=p\times\phi(x')$ 。

int p[N],phi[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;
            }
            phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
        }        
    }
}

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 $\mu(x)$ 的定义：

$\mu(x)=\begin{cases}1&x=1\\ (-1)^{k}&x=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\;\dots\;p_{k}^{a_{k}}(a_{i}=1)\\ 0&x=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\;\dots\;p_{k}^{a_{k}}(max\{a_{i}\}>1)\end{cases}$

显然当 $x$ 是质数时， $\mu(x)=-1$ ；

当 $x$ 不是质数时，设 $p$ 为 $x$ 最小的质数， $x'=x/p$ ，在线性筛中， $x$ 被筛 $p$\times$x'$ 掉。

当 $x'\;mod\;p\not=0$ 时，当 $\mu(x')\not=0$ 时，显然 $a_{i}=1$ ， $\mu(x)=-\mu(x')$ ；

当 $\mu(x')=0$ 时， $\mu(x)=0$ ,即 $\mu(x)=-\mu(x')$ ；

当 $x'\;mod\;p=0$ 时，显然 $max\{a_{i}\}>1$ ， $\mu(x)=0$ 。

int p[N],mu[N],n,cnt;
bool b[N];
inline void prime(){
    b[0]=b[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!b[i]){
            p[++cnt]=i;mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                mu[i*p[j]]=0;break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }        
    }
}