后缀数组模板+详解

最新推荐文章于 2024-04-17 22:16:42 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/eternhope/p/SA.html

本文详细介绍了基数排序的基本原理及其在后缀数组构建中的应用。通过具体实例，展示了如何利用基数排序对十位数和个位数进行排序，进而得到数据的最终排名。在此基础上，深入探讨了后缀数组的构建过程，包括初始化、倍增策略、排名计算及height数组的求解。同时，提供了完整的代码实现，并讨论了后缀数组在求解两个后缀LCP和子串LCP中的应用。

后缀数组理解起来挺难的......

首先得学一下基数排序。

比如说下面这组数据：11,12,23,15,34,24

基数排序的第一关键字：十位数，第二关键字：个位数。

我们先对第一关键字也就是十位数开个桶hs[]计数：

记完之后应该是这个样子：hs[1]=3,hs[2]=2,hs[3]=1

这些数代表了十位数为k的数分别有多少个。

然后求一遍前缀和：hs[1]=3,hs[2]=5,hs[3]=6

不难发现，这时的hs[k]代表十位上为k的若干数中，排名最大的数的排名。

其实仔细想一想也能明白其中的原理。

那么知道了这些，我们下一步就是利用个位数，求出最终排名。

因为hs[k]代表十位上为k的若干数中，排名最大的数的排名。

所以我们从大到小枚举个位数。

设rk[k]为k的排名(k=11,12,23,15,34,24)。

个位数：5。个位是5的数有一个：15，十位上是1，

　　此时hs[1]=3,hs[2]=5,hs[3]=6，所以rk[15]=hs[1]=3。

　　十位为1的数已经用了一个，hs[1]--；

个位数：4。个位是4的数有两个：24、34，十位上分别是2和3，

　　此时hs[1]=2,hs[2]=5,hs[3]=6，所以rk[24]=hs[2]=5，rk[34]=hs[3]=6。

　　十位为2、3的数分别用了一个，hs[2]--，hs[3]--；

个位数：3。个位是3的数有一个：23，十位上是2，

　　此时hs[1]=2,hs[2]=4,hs[3]=5，所以rk[23]=hs[2]=4。

　　十位为2的数又用了一个，hs[2]--；

个位数：2。个位是2的数有一个：12，十位上是1，

　　此时hs[1]=2,hs[2]=3,hs[3]=5，所以rk[12]=hs[1]=2。

　　十位为1的数也用了一个，hs[1]--；

个位数：1。个位是1的数有一个：11，十位上是1，

　　此时hs[1]=1,hs[2]=3,hs[3]=5，所以rk[11]=hs[1]=1。

　　十位为1的数用了一个，hs[1]--；

结束了。基数排序就是这样。

接下来进入后缀数组的讲解。

我们设rk[i]为i开始的后缀的排名，sa[i]表示排名为i的后缀的开始位置，它们互为逆运算。

再开两个数组tr[]为暂时排名，hs[]为基数排序的桶。

为了避免出现空字符带来的麻烦，先将字符串倍长，n+1~2n的部分为“空”，“空”的字典序小于其它所有字符。

我们先求出s[1:1],s[2:2],s[3:3]......的相对排名，进而求出s[1:2],s[2:3],s[3:4],s[4:5]......的，

再求出s[1:4],s[2:5],s[3:6]......的，再求出s[1:8],s[2:9],s[3:10]......的......

这样倍增下去，最后直到没有排名相等的了，我们也就求出了所有后缀的相对排名。

代码的具体思路：

先预处理一下rk[]和sa[]，再倍增。

每次倍增先把桶清空，做一遍基数排序，记录sa[]，最后判重地(也就是允许两个部分排名相等)计算排名。

反观tr[]，tr[]显然与rk[]不同，tr[]是基数排序的直接结果，不会出现两个部分排名相同。

我们用tr[]更新sa[]之后，判重地计算rk[]来代替tr[]。

直到辅助记录排名的cnt==n，也就是说每个部分(s[1:1+2^k-1] , s[2:2+2^k-1] , s[3:3+2^k-1] ......)都对应了不同的排名，算法结束。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 int n;
 7 char s[1000005];
 8 int rk[1000005],sa[1000005];
 9 int tr[1000005],hs[1000005];
10 int ht[1000005];
11 
12 int cmp(int x,int y,int k)
13 {
14     if(x+k>n||y+k>n)return 0;
15     return rk[x]==rk[y]&&rk[x+k]==rk[y+k];
16 }
17 
18 int main()
19 {
20     scanf("%s",s+1);
21     n=strlen(s+1);
22     int i,cnt;
23     for(i=1;i<=n;i++)hs[s[i]]++;
24     for(i=1,cnt=0;i<128;i++)if(hs[i])tr[i]=++cnt;
25     for(i=1;i<128;i++)hs[i]+=hs[i-1];
26     for(i=1;i<=n;i++)rk[i]=tr[s[i]],sa[hs[s[i]]--]=i;
27     for(int k=1;cnt!=n;k<<=1)
28     {
29         for(i=1;i<=n;i++)hs[i]=0;
30         for(i=1;i<=n;i++)hs[rk[i]]++;
31         for(i=1;i<=n;i++)hs[i]+=hs[i-1];
32         for(i=n;i;i--)if(sa[i]>k)tr[sa[i]-k]=hs[rk[sa[i]-k]]--;
33         for(i=1;i<=k;i++)tr[n-i+1]=hs[rk[n-i+1]]--;
34         for(i=1;i<=n;i++)sa[tr[i]]=i;
35         for(i=1,cnt=0;i<=n;i++)tr[sa[i]]=cmp(sa[i],sa[i-1],k)?cnt:++cnt;
36         for(i=1;i<=n;i++)rk[i]=tr[i];
37     }
38     for(i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sa[i]);
39     return 0;
40 }

在后缀数组的基础上，还能求出height数组。

height[i] 记录排名为 i 的后缀与排名为 i-1 的后缀的LCP（最长公共前缀）。

而且height[ i ] <= height[ rank[ sa[ i ] + 1] ] + 1。

所以我们可以按原串中开始位置从前到后的顺序求height 数组。

求height[rank[i]] 时，只需从 height[ rank[ i - 1] ] - 1 开始枚举就行了。

1 for(i=1;i<=n;i++)
2 {
3     if(rk[i]==1)continue;
4     for(int j=max(1,ht[rk[i-1]]-1);;j++)
5     {
6         if(s[i+j-1]==s[sa[rk[i]-1]+j-1])ht[rk[i]]=j;
7         else break;
8     }
9 }