[NOIP提高组]同余方程

最新推荐文章于 2022-03-18 00:00:10 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/OIerLYF/p/6913733.html

本文详细介绍了扩展欧几里得算法的概念及其在求解最大公约数与逆元问题中的应用。通过数学推导展示了如何找到使得gcd(a,b)=ax+by成立的整数对(x,y)，并给出了具体的代码实现。

题目链接

扩展欧几里得算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时

$$ax_1+by_1=\gcd(a,b)$$

$$bx_2+(a \mod b)y_2=\gcd(b,a \mod b) $$

因为$\gcd(a,b)==\gcd(b,a \mod b)$

所以$ax_1+by_1=bx_2+(a \mod b)y_2$

$ax_1+by_1=bx_2+(a - \frac{a}{b} \times b )y_2$ 注：这里的a/b 是整除

$ax_1+by_1 = bx_2+(a \times y_2 - \frac{a}{b} \times b \times y_2 )$

$ax_1+by_1 = a \times y_2 + bx_2 - \frac{a}{b} \times b \times y_2$

所以求出通解

$$ x_1=y_2 $$

$$ y_1=x_2 - \frac{a}{b} \times y_2 $$

逆元

扩展欧几里得算法有什么用呢？最大的作用就是求逆元。

什么叫做逆元？

这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

这怎么求？首先a必须与m互质（充要条件）即gcd(a,m)=1 为什么？因为如果 a可以被m整除的话那么a mod m必为0

根据gcd(a,m)=1 可以得出 ax+my=1 ,这时候用扩展欧几里得算法就可以求出x的值了。

但是大部分题目要求 x是最小正整数解

这个时候就需要 (x+m)%m了。因为x有可能是负数

证明一下 (x+m)%m 不会证明....

 1 #include <cstdio>
 2 typedef long long ll;
 3 ll a,b,x,y;
 4 ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
 5     if(!b){
 6         x=1;
 7         y=0;
 8         return a;
 9     }
10     ll ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
11     ll num = x;
12     x = y;
13     y = num - (a/b)*y;
14     return ans;
15 }
16 
17 int main(){
18     scanf("%lld%lld",&a,&b);
19     ex_gcd(a,b,x,y);
20     printf("%lld",(x+b)%b);
21     return 0;
22 }