同余定理证明

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同余问题（含证明）整理（篇目①：定义、性质与两个简单定理）
Cass-ette的博客
08-04 3738
文章目录定义 定义
【数论与组合数学 2】同余、中国剩余定理
weixin_50560910的博客
04-01 411
1. 令 a, b, m\mathsf{a,\ b,\ m}a, b, m 为整数，且 m≠0\mathsf{m \neq 0}m=0 。当满足 m∣(a−b)\mathsf{m \mid (a-b)}m∣(a−b) 时，称 a 与 b 模 m 同余，写作 a≡b mod m\mathsf{a \equiv b \ mod \ m}a≡b mod m例子：3≡27 mod 12\mathsf{3 \equiv 27\ mod\ 12}3≡27 mod 12， −3≡11 mod 7\mathsf{-3
同余定理
akzhhoi4306的博客
04-03 612
声明：借鉴高手！ 一、 同余 对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就产生同余的概念。 定义1 用给定的正整数m分别除整数a、b，如果所得的余数相等，则称a、b对模m同余，记作a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8）。 定理1 整数a,b对模m同余的充要条件是 a-b能被m整除（即m|a-b）。 证 设a=mq1+r1, 0<=r1<m;...
同余的一个定理的证明a,p互质，k=1,2,3,...,p-1.ka （mod p）单射且满射到集合A={1,2,3,...,p-1}
luixiao1220的博客
01-14 700
UTF8gbsn 证明：如果a,p互质。令k∈{1,2,3,...,p−1}k\in \{1,2,3,...,p-1\}k∈{1,2,3,...,p−1}那么。 ka(modp)ka\quad (mod\quad p)ka(modp) 会映射到{1,2,3,...,p−1}\{1,2,3,..., p-1\}{1,2,3,...,p−1}.并且是单射和满射加粗样式。 举个例子4,5互质。那么我们看...
从一条同余基本定理讲到欧拉定理
01-08
从一条同余基本定理讲到欧拉定理 参考使用资料为清华大学出版社的《信息安全数学基础教程(第2版)》(许春香) 前言 最近在复习密码学，遇到了一些不太懂的理论，遂又把之前的基础教程拿出来复习。俗话说，温故而知新，...
我国剩余定理的背景与证明.doc
09-28
理论层面的证明，中国剩余定理通常借助于构造模同余的逆元和扩展欧几里得算法来实现。这一方法主要涉及了模运算、同余类和模逆元等数论中的基本概念。证明的复杂性在于其高度的逻辑结构和对模线性方程组性质及解的...
中国剩余定理及同余方程解法（这里同余方程属于一种情况，剩余定理属于一种解法）
lee371042的博客
09-10 3012
中国剩余定理又叫孙子定理即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。即可以得到下方程 中间有个三个横的类似于等于符号，“ ≡ ” 这个符号叫做同余，上面的方程也叫同余方程 同余是什么？字面意思理解：同一个余数， 即：假设有a b c(假设a>b)三个正整数 假如a对c取模得到的数与b对c取模得到...
HDU-1013 同余定理
刷题记录
02-22 246
Problem Description The digital root of a positive integer is found by summing the digits of the integer. If the resulting value is a single digit then that digit is the digital root. If the resulting...
同余定理与费马（Fermat）小定理
idwtwt的专栏
07-20 7619
1 同余定理定义 如果两个整数a和b，(a-b)能被m整除，则a和b被m除的余数相同，记做 如果有，则 2 同余定理证明 充分性： 假定（其中r1和r1小于m，h1和h2为整数） a = h1*m+r1 b = h2*m+r2 则a-b = (h1-h2)*m + (r1-r2) 因为，则r1-r2=0，即r1=r2，得证 必要性： 整数a，b，被整数m除的余数相同，其中...
【数论】同余方程
sinat_38064165的博客
01-08 1176
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同余初步性质
.SAI.的博客
04-23 2174
基本概念 前言 在小学中，我们接触到了整数除法，其中会有一个概念名为余数。当然，这个概念在小学五年级学小数的时候就被抛弃了，但是在数论的知识中，它再次卷土重来，折磨众生。 整除概念 对于一个整数 aaa 和 mmm，我们取 a÷ma\div ma÷m 下的余数，记为 a mod ma \bmod mamodm 易得，整除的概念为除以 mmm 的意义下余数为 000，即a mod m=0a \bmod m=0amodm=0： 一般的，对于整数 aaa 和 mmm，若 a mod m=0a \bmod m=
抽象代数之拉格朗日定理的证明
linux-0.11调试教程
12-18 2546
同余运算及其基本性质（证明）
01-27 8306
1. 线性运算 2. 线性运算的一个自然推论 3. 移项法则
数论及其应用——同余式定理
weixin_30314813的博客
03-17 731
这篇文章我们将介绍数论当中几个很重要的定理：威尔逊定理、费马小定理以及欧拉定理，并讨论一些基于这些定理的算法。 首先我们给出费马小定理：如果p是素数，并且gcd(a,p) = 1 , 那么有a^(p-1) = 1(mod p)。 而关于这个定理的证明，也是不难理解的。 在证明之前，我们先需要知道这样两个引理。 引理1：若a、b、c为任意3个整数，且gcd(m,c) = ...
数论相关内容总结——同余
m0_50170681的博客
05-05 2734
同余相关内容总结与证明 - 同余的定义 若整数a和整数b除以正整数m的余数相等，则称a，b模m同余，记作a≡b（mod m） - 欧几里得算法 gcd（a,b）=gcd(b,a%b); 证明 a=kb+r(k是整数且r<b) r=a%b; 假设d为a,b的一个公因数； r=a-kb; r/d=（a/d）+k*(b/d); 等号右侧是一个整数 所以等号左侧也是一个整数 即 r可以被d整除,所以d是r的一个因数 而r=a%b; d同时是a,b的一个因数； 所以d也同时是a%d的一个因数 最大公因数属于因
同余及其性质
linkfqy
02-17 5183
把数论里的一些零散的知识总结一下……【同余】a模b，即a除以b的余数，记做”a mod b”或”a%b”。 同余，用符号≡表示，若a%m=b%m则称a与b关于m同余，记做”a≡b (mod m)” 本文中，a与b的最大公约数记为(a,b)，最小公倍数记为[a,b]，a能整除b记为a|b【同余的几个性质】性质1：a≡a（mod m），（反身性） 性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod
标量同余定理为什么成立
最新发布
07-13
<think>首先，用户的问题是：“标量同余定理为什么成立？” 这指的是在椭圆曲线密码学中，标量同余定理：如果 \( a \equiv b \pmod{n} \)，那么 \( a \times G = b \times G \)，其中 \( n \) 是基点 \( G \) 的阶。 我需要用中文回答问题。然后，在回答后，必须提出3-5个相关问题，以“§§相关问题§§”开头，并且不能换行分散。 回顾之前的对话历史： - 用户之前询问了ECDSA签名验证的证明，其中涉及标量同余定理。 - 我之前的回答解释了证明过程，并提到了标量同余定理。 现在，用户直接问为什么标量同余定理成立。 关键点： - 标量同余定理成立的原因是基于椭圆曲线点的阶的定义。 - 基点 \( G \) 的阶是 \( n \)，意味着 \( n \times G = \mathcal{O} \)（无穷远点），并且 \( n \) 是最小的正整数使得这个等式成立。 - 如果 \( a \equiv b \pmod{n} \)，那么 \( a - b = k \times n \) 对于某个整数 \( k \)。 - 因此，\( a \times G = (b + k \times n) \times G = b \times G + k \times (n \times G) = b \times G + k \times \mathcal{O} = b \times G \)。 - 因为 \( k \times \mathcal{O} = \mathcal{O} \)（无穷远点的标量乘法仍然是无穷远点）。 所以，证明是直接的：由于 \( n \times G = \mathcal{O} \)，任何 \( n \) 的倍数乘以 \( G \) 也等于 \( \mathcal{O} \)，所以同余的标量产生相同的点。 现在，我需要用中文写回答。结构： 1. 解释定理：标量同余定理是指如果两个整数在模 \( n \) 下同余，那么它们乘以基点 \( G \) 的结果相同。 2. 给出证明：基于阶的定义和无穷远点的性质。 3. 确保回答完整。 然后，提出3-5个相关问题。相关问题应该基于用户的问题和我的回答。例如： - 为什么基点 \( G \) 的阶必须是素数？ - 如果阶不是素数，定理是否还成立？ - 无穷远点在椭圆曲线群中的作用是什么？ - 如何计算一个点的阶？ - 标量同余定理在其他群结构中是否适用？ 相关问题必须放在最后，以“§§相关问题§§”开头，然后列出1. 2. 3. 等。 格式：不能有换行分散，所以相关问题应该在一行中列出，但根据示例，是换行列出的，如： §§相关问题§§ 1. ... 2. ... 3. ... 在示例中，是换行的，但指令说“禁止换行分散”，可能意味着相关问题部分不能有不必要的换行，但列表可以换行。指令说：“禁止换行分散”，可能指的是不要在问题中插入换行，但列表是允许的，因为示例有换行。 看示例： ``` §§相关问题§§ 1. ··· 2. ··· 3. ··· ``` 所以，我需要输出“§§相关问题§§”后换行，然后列出问题。 现在，制定相关问题： 1. 为什么椭圆曲线群的阶 \( n \) 通常选择为素数？ 2. 如果 \( a \times G = b \times G \)，是否一定有 \( a \equiv b \pmod{n} \)？ 3. 无穷远点在椭圆曲线标量乘法中扮演什么角色？ 4. 如何证明 \( n \times G = \mathcal{O} \) 当 \( n \) 是点 \( G \) 的阶？ 5. 标量同余定理在非循环群中是否成立？ 选择3-5个。我会选择4个。 最终回答结构： - 先回答问题：解释为什么标量同余定理成立。 - 然后输出： §§相关问题§§ 1. ... 2. ... 3. ... 4. ...</think>### 标量同余定理成立的原因 标量同余定理的核心表述为： **若整数 \( a \equiv b \pmod{n} \)，则椭圆曲线点乘满足 \( a \times G = b \times G \)**，其中 \( G \) 是公开基点，\( n \) 是 \( G \) 的阶（即最小正整数使得 \( n \times G = \mathcal{O} \)，\(\mathcal{O}\) 为无穷远点）。 #### 证明过程（基于阶的定义和群运算性质） 1. **同余条件推导** 由 \( a \equiv b \pmod{n} \)，存在整数 \( k \) 使得： \[ a - b = kn \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. **点乘展开** 将标量乘法作用于基点 \( G \)： \[ a \times G = (b + kn) \times G \] 3. **分配律应用** 利用椭圆曲线标量乘法的分配律： \[ (b + kn) \times G = b \times G + (kn) \times G \] 4. **阶的消解性** 由阶 \( n \) 的定义（\( n \times G = \mathcal{O} \)），得： \[ (kn) \times G = k \times (n \times G) = k \times \mathcal{O} = \mathcal{O} \] （无穷远点 \(\mathcal{O}\) 是加法单位元，对任意点 \( P \) 满足 \( P + \mathcal{O} = P \)） 5. **最终等价** 代入得： \[ b \times G + \mathcal{O} = b \times G \] 因此： \[ a \times G = b \times G \] #### 关键数学基础 - **阶的定义**：阶 \( n \) 是最小正整数满足 \( n \times G = \mathcal{O} \)，确保 \( kn \times G = \mathcal{O} \) 对所有整数 \( k \) 成立。 - **群运算性质**：椭圆曲线群是阿贝尔群（满足加法交换律和结合律），且标量乘法满足分配律 \( (c + d) \times G = c \times G + d \times G \)。 - **无穷远点作用**：\(\mathcal{O}\) 是加法单位元，消解任何 \( n \) 的倍数影响。 该定理的成立依赖于椭圆曲线群的代数结构，尤其是阶 \( n \) 的明确定义和群运算的线性性质。若 \( n \) 非素数或群结构破坏（如非循环群），定理可能不成立。
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