树链剖分

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原文链接：http://www.cnblogs.com/fallen-down/p/10976915.html

前言：似乎好久没写公开的博客了，，，原内容我也是咕咕咕了好久才记得要学的，，，，果然，，人类的本性

这篇博客的操作基于洛谷上的树链剖分模板题：传送门

定义：

重儿子：对于每一个非叶节点，他的儿子A中，以某个儿子B为根，其子树节点最大的那个B就被成为A的重儿子
轻儿子：非叶节点中除了重儿子的其余节点（废话）
重边：连接重儿子及其父亲节点的边
轻边：除了重边以外的边废话*2
重链：
- 相邻重边链接起来的链
- 叶子节点自己
  - 每一条重链以轻儿子为起点

其余解释见代码注释

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 using namespace std;
  4 #define ll long long
  5 /*
  6     树链剖分：
  7         个人理解就是给你一颗有点权的树，然后再给你一些骚操作，例如本题的操作
  8         个人认为，全过程就是你先把这个树找到他们的重儿子，然后按照dfs序把他们进行剖分
  9         把这棵树肢解成一段一段的链条，每条链条把他们当成一条线段，再用线段树维护
 10     前置知识：
 11         图论基本常识，带tag的线段树，dfs序
 12 */
 13 namespace the_Death{
 14     const int MAXN=1e5+10;
 15     int n,m,root,mod,tot;
 16     int head[MAXN],ver[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1];
 17     void add(int x,int y){
 18         ver[++tot]=y;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;
 19     }//存图
 20     int dfn[MAXN],dfn2[MAXN],size[MAXN],dep[MAXN];
 21     int fa[MAXN],top[MAXN],son[MAXN],dp,id[MAXN];
 22     //树剖所用
 23     //dfn[MAXN]->标记dfs序,dfn2[MAXN]->标记树剖出的链的右端点
 24     //dep[MAXN]->这个点所在的深度,fa[MAXN]->某个点的父亲节点标号
 25     //son[MAXN]->重儿子标号,id[MAXN]->记录某个dfs序的原序号是什么
 26     //size[MAXN]->子树大小,dp->dfs序的序号,top[MAXN]->树剖后某个链的起点
 27     ll w[MAXN],d;int x,y,op;
 28     //w[MAXN]->节点上的初值
 29     //———————————————————————————————————树剖的前置工作————————————————————————————————————————————
 30     void dfs1(int x,int d){
 31         //目的：为了找到重儿子&父亲，某点的深度，以某点为根的子树大小
 32         dep[x]=d;size[x]=1;
 33         //x的深度是d,以x为根的子树大小为1
 34         for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]){
 35             int y=ver[i];
 36             if(y==fa[x]) continue;
 37             fa[y]=x;dfs1(y,d+1);size[x]+=size[y];
 38             //标记父节点标号，再向下dfs，而后遍历树后，统计子树大小
 39             if(size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;
 40             //标记每个子树的重儿子标号
 41         }
 42     }
 43     void dfs2(int x){
 44         //目的：为了找到dfs序，某条链剖完后的左右端点，某个dfs序所对应的原节点
 45         //关于“先重后轻”处理链，原因见最下面代码结束后的地方
 46         dfn[x]=++dp;id[dp]=x;
 47         //dfn[]->标记dfs序;id[]->序号dp的位置对应x节点
 48         if(!top[x]) top[x]=x;
 49         //如果这个点所在链上没有top[]的话，就指定它是起点
 50         if(son[x]) top[son[x]]=top[x],dfs2(son[x]);
 51         //如果这个点下面有重儿子的话。优先处理重儿子，并且把这个重儿子当为这个链的top[]
 52         for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]){
 53             int y=ver[i];
 54             if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
 55             //如果这个点不是重儿子，不是父亲，那就以轻儿子为端点继续搜
 56             dfs2(y);
 57         }
 58         dfn2[x]=dp;//这个链全部剖完后，右端点的dfs序
 59     }
 60     //——————————————————————————————————————线段树————————————————————————————————————————————————
 61     struct ziji{
 62         ll sum,tag;
 63         //tag(i)->以i为根节点的子树应该加上多少
 64         #define sum(i) mn[i].sum
 65         #define tag(i) mn[i].tag
 66     }mn[MAXN<<2];//线段树
 67     void pushup(int x){
 68         sum(x)=(sum(x<<1)+sum(x<<1|1))%mod;
 69     }
 70     void build(int now,int l,int r){
 71         if(l==r){
 72             sum(now)=w[id[l]]%mod;
 73             //由于是把每棵树按照dfs序进行的树剖
 74             //所以每一个叶子节点的值应该是还原dfs序后的真实序号所对应的点权
 75             tag(now)=0;return;
 76         }
 77         tag(now)=0;int mid=l+r>>1;
 78         build(now<<1,l,mid);build(now<<1|1,mid+1,r);
 79         pushup(now);
 80     }
 81     void pushdown(int now,int l,int r){//下放标记
 82         if(!tag(now)) return ;
 83         (tag(now<<1)+=tag(now))%=mod;
 84         (tag(now<<1|1)+=tag(now))%=mod;
 85         //左右子树将要加的值，应该是以自己父亲节点为根要加的值和以自己为根要加的值之和
 86         int mid=l+r>>1;
 87         sum(now<<1)=(sum(now<<1)+tag(now)*(mid-l+1)%mod)%mod;
 88         sum(now<<1|1)=(sum(now<<1|1)+tag(now)*(r-mid)%mod)%mod;
 89         //sum上要加的值，应该就是自己所维护的这一段树链的长度*要以这个点为根所加上的值
 90         //由于add()函数里已经处理了以自己为根的子树加上tag后的值
 91         //所以此时你只要更新自己左右节点的变化值就可以了
 92         tag(now)=0;
 93     }
 94     void add(int now,int l,int r,int L,int R,ll d){
 95         if(L<=l&&r<=R){
 96             (tag(now)+=d)%mod;
 97             sum(now)=(sum(now)+(r-l+1)*d%mod)%mod;
 98             //当你要处理的L,R在你找的范围里，那你直接更新就好了
 99             return ;
100         }
101         pushdown(now,l,r);int mid=l+r>>1;
102         if(L<=mid) add(now<<1,l,mid,L,R,d);
103         if(mid<R) add(now<<1|1,mid+1,r,L,R,d);
104         pushup(now);
105     }
106     ll ask(int now,int l,int r,int L,int R){
107         if(L<=l&&r<=R) return sum(now);
108         pushdown(now,l,r);
109         //如果没有在你找到的区间里，代表这个链的跨度比较大
110         //所以此时你要更新你的tag与sum
111         ll ret=0;int mid=l+r>>1;
112         if(L<=mid) ret=(ret+ask(now<<1,l,mid,L,R))%mod;
113         if(mid<R) ret=(ret+ask(now<<1|1,mid+1,r,L,R))%mod;
114         return ret;
115     }
116     //———————————————————————————————————树链剖分&线段树融合——————————————————————————————————————————
117     //个人认为这一下就是把你剖好的链和你写好的线段树相结合
118     void work1(int x,int y,ll d){
119         //树上加
120         /*
121             原理总括性的说明：
122                 当你要对L到R的规定区间里加d,你所要面对有两种情况：
123                     1.这俩在一条链上->你直接按照线段树的方式进行维护
124                     2.这俩不在一条链上：
125                         首先你要知道，无论你怎么剖分，本质上他们呢还是在树上的。
126                         所以你可以通过类似于倍增找lca的方法，让他们变成一条链上，然后再回到情况1
127                         由于是从下向上更新，所以每次向上走的时候都要对以自己为根的子树进行维护操作
128         */
129         while(top[x]!=top[y]){
130             //如果两点不在一条链上
131             if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
132             //如果x所在链顶点比y所在链的顶点浅，就交换
133             add(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],d);
134             x=fa[top[x]];
135             //把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
136         }//如此操作,直到x,y在同一个链上
137         if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
138         add(1,1,n,dfn[y],dfn[x],d);
139         //最后再在这一条链上加
140     }
141     ll work2(int x,int y){//树上查询，同上
142         ll ret=0;
143         while(top[x]!=top[y]){
144             if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
145             ret=(ret+ask(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]))%mod;
146             x=fa[top[x]];
147         }
148         if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
149         ret=(ret+ask(1,1,n,dfn[y],dfn[x]))%mod;
150         return ret;
151     }
152     //——————————————————————————————————————————————主程序————————————————————————————————————————
153     int main(){
154         scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&root,&mod);
155         for(register int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&w[i]);
156         for(register int i=1;i<=n-1;++i)
157             scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
158         dfs1(root,1);dfs2(root);build(1,1,n);
159         while(m--){
160             scanf("%d",&op);
161             switch(op){
162                 case 1:scanf("%d%d%lld",&x,&y,&d),work1(x,y,d);break;
163                 case 2:scanf("%d%d",&x,&y),printf("%lld\n",work2(x,y));break;
164                 case 3:scanf("%d%lld",&x,&d),add(1,1,n,dfn[x],dfn2[x],d);break;
165                 case 4:scanf("%d",&x),printf("%lld\n",ask(1,1,n,dfn[x],dfn2[x]));break;
166             }
167         }
168         system("pause");return 0;
169     }
170 }
171 int main(void){
172     the_Death::main();
173     return 0;
174 }

View Code

NOTICE：关于为什么第二次dfs要先重后轻

在先重后轻的方式下，你可以保证重儿子的dfs序是连续的，也可以保证子树的编号是来连续的

才不是因为别人都告诉我要先重后轻我才这样做的呢

最后国际惯例：thankyou for your attention

代码参考于 *Miracle*

转载于:https://www.cnblogs.com/fallen-down/p/10976915.html