Luogu 2900 [USACO08MAR]土地征用Land Acquisition

最新推荐文章于 2025-07-08 22:30:32 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/CzxingcHen/p/9648916.html

本文详细解析了斜率优化动态规划算法，通过实例说明如何利用单调队列优化DP过程，实现时间复杂度从O(n^2)降低至O(nlogn)。文章包括算法原理、代码实现及复杂度分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斜率优化dp。

首先发现如果存在$x$和$y$使得$len(x) \geq len(y)$并且$wid(x) \geq wid(y)$，那么$y$直接不考虑就好了，因为在买$x$的时候就把$y$顺便带上了。

随便按照$x$或者$y$排一波序就能很方便地处理了。

接下来就可以设计dp了，设去重之后有$tot$个元素，$f_{i}$表示$1~i$地代价的最小值。

如果按照$len$从大到小排序，此时在排完序的序列中一定也满足$wid$不递增。

有转移方程：$f_{i} = min(f_{j} + len(i) * wid(j + 1))$ $(0 \leq j < i)$。

发现了$len(i) * wid(j + 1)$的项，得到斜率式为$(f_{j} - f_{k}) / (wid(k + 1) - wid(j + 1)) <= len(i)$ $(k < j)$。

然后按照套路写一个单调队列就好了。

时间复杂度$O(nlogn)$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;

const int N = 5e4 + 5;

int n, tot = 0, q[N];
ll f[N];

struct Item {
    ll len, wid;
} a[N], b[N];

bool cmp(const Item &x, const Item &y) {
    if(x.len == y.len) return x.wid < y.wid;
    else return x.len < y.len;
}

template <typename T>
inline void read(T &X) {
    X = 0; char ch = 0; T op = 1;
    for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar())
        if(ch == '-') op = -1;
    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48;
    X *= op;
}

inline db slope(int i, int j) {
    return (db)(f[i] - f[j]) * 1.0 / (b[j + 1].wid - b[i + 1].wid);
}

int main() {
//    freopen("testdata.txt", "r", stdin);
    
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        read(a[i].len), read(a[i].wid);
        
    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(; tot > 0 && a[i].wid >= b[tot].wid; --tot); 
        b[++tot] = a[i];
    }
    
/*    printf("\n");
    for(int i = 1; i <= tot; i++)
        printf("%lld %lld\n", b[i].len, b[i].wid);    */
        
//    memset(f, 0x3f, sizeof(f)); f[0] = 0LL;
    int l = 1, r = 1; q[1] = 0;
    for(int i = 1; i <= tot; i++) {
        for(; l < r && slope(q[l], q[l + 1]) <= (db)b[i].len; ++l);
        f[i] = f[q[l]] + 1LL * b[i].len * b[q[l] + 1].wid;
        for(; l < r && slope(q[r - 1], q[r]) >= slope(q[r], i); --r);
        q[++r] = i;
    }
    
/*    for(int i = 1; i <= tot; i++)
        printf("%lld ", f[i]);
    printf("\n");   */
    
    printf("%lld\n", f[tot]);
    return 0;
}