二进制补码的一些思考

最近都一直在看几本关于计算机组成原理方面的大作：《Code: The Hidden Language of Computer Hardware and Software》，《Computer System: A Programer Perspective》，《Introduction to Computer Systems》，算是补充了自己作为一个非计算机专业的程序员在这方面的缺失。特别是看了《Code》中关于加法器与减法器实现的章节后，对于二进制补码有了一个感性的认识。

在计算机的历史中，曾经出现过三种表示负数的二进制方法。第一种是直接用一个符号位。第二种是用反码，即对一个整数的全部位取反则得到这个数的负数。而最后的一种方式就是二进制补码（Two’s Complement）。

但是为什么现在的计算机都要采用二进制补码这种方式呢？在所有知识的背后，要做到知其然的同时，更要做到知其所以然，这样才能做到真正的理解。其实采用二进制补码的原因很简单，简单，高效。

要真正理解这背后的原因，首先我们需要理解，计算机是如何做加法的。

我们知道，当一个与门和一个异或门组合在一起的时候，就可以形成一个接受两个1bit的输入，并且输出其相加的和的结果和进位的半加器。

而当两个这样的半加器再与一个或门组合在一起时，就可以形成一个接受两个1bit输入，1bit进位输入，输出加和输出和进位输出的全加器。

而当N个这样的全加器组合在一齐时，就可以形成一个能计算两个N为二进制数相加的加法器。

理解了上面的实现方式之后，我们就可以做出一台上古时代用于计算二进制加法的加法器：

当我们实现了加法器之后，理所当然的，我们希望同样能实现减法。但我们知道减法与加法相比，是不一样的机制的。加法只有向前进位，而减法呢？减法则有可能会向前借位，同时，前一位又可能再向前借位，这是一种十分麻烦的机制。那么有什么办法可以解决这个这么麻烦的问题呢？上古时代的天才们就开始想，能不能把减法转换为加法，那么就可以借用简单的加法器来进行减法运算呢？于是一种基于补码的使减法变成加法，通过加法器来运算的方法就诞生了。

首先，可以看一个在《Code》里面举的例子：

253 – 176 = ？？？

可以看到，这个减法运算在个位的时候，就需要向前借位了，十分麻烦。

但是我们可以转变一下思路，首先这是一个三位数，三位数的最大值是999。因此我们先用999减去减数176

999 – 176 = 823

然后，用被减数253加上上面求出来的这个值823

253 + 823 = 1076

然后把这个值加1再减去1000，这样就得到了77。噢，这个不正是我们需要的结果77吗？

大家可以看到，在这个过程中，我们虽然用到了减法，但是我们没有用到借位，并且，若我们把这种方法类比到二进制上，我们就会发现，上面的几个做减法的步骤，完全可以通过简单的门电路来实现，而不需要真正地进行运算。好，我们就用同样上面的数字来进行一下二进制的运算。

253 – 176 转换为二进制则是：1111 1101 – 1011 0000 = ？？？？ ？？？？

第一步，用8位二进制数中的最大值，即1111 1111，减去减数1011 0000

1111 1111 – 1011 0000 = 0100 1111

然后，用被减数与上面的结果相加：

1111 1101 + 0100 1111 = 1 0100 1100

把上述结果加一再减去9位二进制数的最小值1 0000 0000

1 0100 1100 + 1 = 1 0100 1101

1 0100 1101 – 1 0000 0000 = 0100 1101

得到上述结果0100 1101 = (10)77

我们通过相同的方法在二进制上的使用，求出了同样的结果77。细心的同学已经可以观察到，这里需要用到的减法步骤，其实并不需要真正的减法。例如，第一步，用1111 1111 – 1011 0000得到的结果0100 1111，其实就是对1011 0000的取反，而取反，我们其实只需要通过取反器就可以实现了。然后，在最后一步，我们减去1 0000 0000其实我们要做的就是把溢出的那个1去掉就得到我们的结果。

看完了上面的演示，解释一下这个实现的方式：

首先用十进制来解释一下，我们用999 – 176 + 253 + 1 - 1000这个式子来得到结果。若我们把这个式子根据运算规律简单地做一些变换：253 + (999 – 176) + 1 – 1000，可以看到，我们其实就是在加上1000后再减去1000。在此我们把用999减去一个数再加一的这种做法称为求9的补数。

而对二进制做同样的转换后，即对一个数先全部为取反，然后再加一，就得到了一个数的二进制补数。说到这里，我们大概也就明白了为什么我们在计算机中使用补数来表示一个负数的原因了。因为我们知道，减一个正数，其实就是加一个负数。那么我们就可以想一种方法，让这个负数的表示既容易表示，用符合运算的规律。显然，只用符号位不行，仅仅取反也不行。而补数则可以。

我想这大概就是计算机中使用补数来表示负数的原因吧。因为即使是现代的计算机处理器中，其加法器的基本实现的方式都是不变的，只是变得更加高效而已，而为了使用这种加法器的简单性，我们就使用补码这种方式来复用加法器来计算减法运算。

转载于:https://www.cnblogs.com/clarenceau/archive/2012/04/25/2469206.html