BZOJ 2820

最新推荐文章于 2019-06-12 16:07:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Stump/p/8035174.html

本文介绍了一种求解特定数学问题的算法，通过优化质数筛法来降低时间复杂度。从原始的O(T√n*n/ln(n))优化到接近线性的O(n*log(n)/ln(n))。涉及质数筛法、莫比乌斯函数及前缀和等概念。

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2820

首先按照套路

　　ans

　　=ΣprimeΣ(i=1,n)Σ(j=1,m)[gcd(i,j)=prime]

　　=ΣprimeΣ(i=1,[n/prime])Σ(j=1,[m/prime])[gcd(i,j)=1]

　　=ΣprimeΣ(i=1,min(n,m)/prime)μ(i)*[n/i]*[m/i]

这样做枚举n以内的质数,其个数为n/ln(n),复杂度是O(T√n*n/ln(n)).

好像会TLE

那么进一步优化式子

　　ans

　　=ΣprimeΣ(i=1,min(n,m)/prime)μ(i)*[n/i]*[m/i]

　　=Σ(T=1,min(n,m))[n/T]*[m/T]*Σ(prime,prime|T)μ(T/prime)

　　这里更改了枚举顺序枚举T=i*prime

　　设f(T)=Σ(prime,prime|T)μ(T/prime)

　　ans

　　=Σ(T=1,min(n,m))[n/T]*[m/T]*f[T]

　　f[T]可以线性地按照定义预处理出来

　　因为质数个数为n/ln(n),每个质数做筛法期望复杂度为log(n)

　　总复杂度为O(n*log(n)/ln(n))≈O(n)

　　所以，按照套路做，复杂度为O（T√n）

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll ans;
const int N=1e7+11;
const int maxn=1e7;
int T;
int pr[N],miu[N],f[N],sum[N];
bool ip[N];
inline void shai_fa(){
	miu[1]=1;
	for(register int i=2;i<=maxn;++i){
		if(!ip[i])
			miu[pr[++pr[0]]=i]=-1;
		for(register int j=1;pr[j]*i<=maxn&&j<=pr[0];++j){
			ip[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0)
				break;
			miu[i*pr[j]]=-miu[i];
		}
	}
	for(register int i=1;i<=pr[0];++i)
		for(register int k=1,j=pr[i];j<=maxn;j+=pr[i],++k)
			f[j]+=miu[k];
	for(register int i=1;i<=maxn;++i)
		sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}
int n,m,pos,a;
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int main(){
	shai_fa();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		a=min(n,m);
		ans=0;
		for(register int i=1;i<=a;i=pos+1){
			pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Stump/p/8035174.html