一些特殊区域的全纯自同构群

作为亚纯函数理论的应用我们来给出$\mathbb C$的全纯自同构群和$\mathbb C_{\infty}$的亚纯自同构群:\\
{\heiti 1.}~~~~设$f\in {\rm Aut}(\mathbb C)$,那么$f$和$f^{-1}$均为整函数.如果$\infty$是可去奇点,那么$f$常值,这不可能.而如果$\infty$是$f$的本性奇点,根据Weierstrass定理,对任意的$A\in\mathbb C_{\infty}$,存在点列$z_n\to\infty(n\to\infty)$ 使得$$
\lim_{n\to\infty}f(z_n)=A
$$
如果记$w_n=f(z_n)$,那么$$
f^{-1}(A)=\lim_{n\to\infty}f^{-1}(w_n)=\lim_{n\to\infty}z_n=\infty
$$
这说明$A$是$f^{-1}$的奇点,与$f^{-1}$是整函数矛盾!因此$\infty$只能是$f$的极点,从而$f$必然为多项式,再由单叶性知${\rm deg}f=1$.另一方面对任意的一次多项式$$f(z)=az+b,a\neq0$$
显然$f\in{\rm Aut}(\mathbb C)$,综上可得$$
{\rm Aut}(\mathbb C)=\{az+b:a,b\in\mathbb C ,a\neq0\}
$$
{\heiti 2.}~~~~如果在$\mathbb C_{\infty}$中讨论,那么${\rm Aut}(\mathbb C_{\infty})$中的元素不再是全纯函数,而是亚纯函数,换言之这里允许$f$有一个极点并且是$1$阶的.此时$\infty$为$f$的极点或者可去奇点,从而$f$必然为有理函数,再由他的单叶性可知$f$只能是分式线性变换;另一方面显然任一分式线性变换都是$\mathbb C_{\infty}$的亚纯自同构,即$$
{\rm Aut}(\mathbb C_{\infty})=\left\{\frac{az+b}{cz+d}:ad-bc\neq0\right\}
$$
我们考虑如下映射:\begin{align*}
\varphi:{\rm SL}_2(\mathbb C)&\to{\rm Aut}(\mathbb C_{\infty})\\
\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)&\mapsto\frac{az+b}{cz+d}
\end{align*}
其中${\rm SL}_2(\mathbb C)=\left\{A\in M_2(\mathbb C):{\rm det}A=1\right\}$,不难验证$\varphi$是一个群的满同态且$$
{\rm Ker}\varphi=\{E,-E\}
$$
其中$E$是$2$阶单位阵,根据群同态基本定理$$
{\rm Aut}(\mathbb C_{\infty})\simeq{\rm SL}_2(\mathbb C)/\left\{E,-E\right\}\triangleq:{\rm PSL}_2(\mathbb C)
$$
{\heiti 3}~~~~不妨再来看看上半平面的情形,今后我们用$\mathbb H$表示上半平面,即$$
\mathbb H=\left\{z\in\mathbb C:{\rm Im}z>0 \right\}
$$
我们来考虑${\rm Aut}(\mathbb H)$的结构,注意到全纯函数的开映射性质不难得出$f(\mathbb R)=\mathbb R$,按照如下复合过程\begin{align*}
B(0,1)&\mathop\rightarrow\limits^{\varphi}\mathbb H\mathop\rightarrow\limits^{f}\mathbb H\mathop\rightarrow\limits^{\phi}B(0,1)\\
0&\mapsto a\mapsto b\mapsto 0
\end{align*}
这里$a,b\in\mathbb H$.显然这样的$\varphi,\phi$是存在的,事实上$$
\varphi^{-1}(z)=\frac{z-a}{z-\overline{z}},\phi(z)=\frac{z-b}{z-\overline b}\Rightarrow\phi^{-1}(z)=\frac{z\overline{b}-b}{z-1}
$$
显然$g=\phi\circ f\circ\varphi\in {\rm Aut}(B(0,1))$且$g(0)=0$,从而存在$\theta\in\mathbb R$使得\begin{align*}
\phi\circ f\circ\varphi(z)&=e^{i\theta}z\\
\Rightarrow f(z)&=\phi^{-1}\left(e^{i\theta}\varphi^{-1}(z)\right)\\
&=\frac{\left(e^{i\theta}\overline b-b\right)z+b\overline a-e^{i\theta}a\overline b}{\left(e^{i\theta}-1\right)z+\overline a-e^{i\theta}a}
\end{align*}
注意到$$
A=\frac{e^{i\theta}\overline b-b}{e^{i\theta}-1}\in\mathbb R,B=\frac{b\overline a-e^{i\theta}a\overline b}{e^{i\theta}-1}\in\mathbb R,D=\frac{\overline a-e^{i\theta}a}{e^{i\theta}-1}\in\mathbb R
$$
并且$AD-B\neq0$,不难得出$$
{\rm Aut}(\mathbb H)=\left\{\frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,d\in\mathbb R\text{且}ad-bc\neq0\right\}
$$
同样的方法利用群同态基本定理可以得到$$
{\rm Aut}(\mathbb H)\simeq{\rm SL}_2(\mathbb R)/\{E,-E\}\triangleq:{\rm PSL}_2(\mathbb R)
$$

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