加分二叉树

最新推荐文章于 2025-09-07 20:32:33 发布

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#数据结构与算法

本文详细介绍了一道入门级的区间动态规划题目，通过实例讲解如何设计状态、状态转移方程及输出过程，帮助初学者理解动态规划的核心思想。

一道入门的区间dp，当然，根据写法不同你还可以把它归类为树形dp或者记忆化搜索，其实都无所谓啦。
作为一道入门题，我们完全可以“显然”地做出来，但是在这里还是想和大家回顾下动态规划以及区间动规。

Q：dp特点是什么？
A：dp把原问题视作若干个重叠的子问题的逐层递进，每个子问题的求解过程都会构成一个“阶段”，在完成一个阶段后，才会执行下一个阶段。
Q：dp要满足无后效性，什么叫无后效性？
A：已经求解的子问题不受后续阶段的影响。

有人觉得dp很抽象，那是因为没有一步一步来想，直接听别人的结论，我们在这里以这道题为例，一步一步来推导。

首先，我们要做的就是设计状态，其实就是设计dp数组的含义，它要满足无后效性。
关注这个 左子树*右子树+根 我只要知道左子树分数和右子树分数和根的分数（已给出），不就可以了吗？管他子树长什么样！
所以，我们

如果这样话，我们就来设计状态转移方程。
按照刚刚的设计来说的话，我们的答案就是

至于输出前序遍历，我们再设计一个状态

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 50;
typedef long long ll;
ll n;
ll f[MAXN][MAXN], root[MAXN][MAXN];

void print(ll l, ll r) {
    if (l > r)return;
    printf("%lld ", root[l][r]);
    if (l == r)return;
    print(l, root[l][r] - 1);
    print(root[l][r]+1,r);
}

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lld", &f[i][i]),f[i][i-1]=1, root[i][i] = i;
    for (int len = 1; len < n; ++len) {
        for (int i = 1; i + len <= n; ++i) {
            int j = i + len;
            f[i][j] = f[i + 1][j] + f[i][i];//默认它的左子树为空，如果有的话，这肯定不是最优解
            root[i][j] = i;//默认从起点选根
            for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
                if (f[i][j] < f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k]) {
                    f[i][j] = f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k];
                    root[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    cout << f[1][n] << endl;
    print(1, n);
    return 0;
}

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