HDU 1452 Happy 2004

最新推荐文章于 2020-07-27 19:49:32 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/RenoStudio/p/10355195.html

本文解析了一道ACM竞赛中的数学题目，通过整数唯一分解定理和约数和公式来计算2004^X的所有正整数因子之和，并对其结果对29取模。介绍了快速幂取模计算及乘法逆元的概念。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在ACM中，数学题很多，数学也是相当重要的。本题就要用到数学知识，真是书到用时方恨少，大家还是多记数学定理和结论吧。

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

Input The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.
Output For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.
Sample Input

1
10000
0

Sample Output

6
10

分析一下，本题求的是2004^x的约数和对29取模，这里我们要计算，约数和，下面介绍两个定理：

①整数唯一分解定理：

一个整数A一定能被分成：A=(P₁^K₁)*(P₂^K₂)*(P₃^K₃).....*(P_n^K_n)的形式。其中P_n为素数。

如2004=(2²)*3*167。

那么2004^x=(2^2x)*(3^x)*(167^x)。

②约数和公式

对于一个已经被分解的整数A=(P₁^K₁)*(P₂^K₂)*(P₃^K₃).....*(P_n^K_n),

有约数和S=(1+P₁²+P₁³+.....P₁^k₁)*.....(1+P_n²+P_n³+.....P_n^k_n)。

(1+P1²+P1³+.....P1^k1)是一个等比数列，化简为(P1^k1+1 -1)/(P1-1).

对于2004^X, 只要求出a=pow(2,2*x+1)-1，b=pow(3,x+1)-1，c=pow(167,x+1)-1即可，使用快速幂取模计算。

所以我们要算的是（a*b/2*c/166)%29,那么里面这个除法怎么处理呢，方法就是取乘法逆元，也就是说令e=2*166%29=9,则（a*b/2*c/166)%29=（a*b*c*e）%29。

下面是代码：

#include<cstdio>
#define ll long long
const int mod=29;
ll quickpow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	a=a%mod;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll x;
	while(~scanf("%lld",&x)&&x){
		ll a=quickpow(2,2*x+1)-1;
		ll b=quickpow(3,x+1)-1;
		ll c=quickpow(167,x+1)-1;
		printf("%lld\n",(a*b*c*9)%mod);
	}
 }

当然，在网上查的时候看有的兄弟找出了规律做，在下实在佩服，可以参考：点击打开链接

可能有的人不理解上面的除法（a*b/2*c/166)%29=（a*b*c*e）%29取模，其实这也是个推出来的结论，记忆就行了：

（因为这里a、b、c是取模后的结果，所以不能拿他们直接除2*166，但是如果不取模可以除，但是太大了一定会溢出）

当我们要求（a / b） mod p的值，且 a 很大，无法直接求得a / b的值时，我们就要用到乘法逆元。
满足 b * k ≡ 1 (mod p) 的 k 的值就是 b 关于 p 的乘法逆元。

我们可以通过求 b 关于 p 的乘法逆元 k，将 a 乘上 k 再模 p，即 (a * k) mod p。其结果与(a / b) mod p等价

（可以用扩展欧几里得）

在下实力有限，欢迎大家指出错误，谢谢。

转载于:https://www.cnblogs.com/RenoStudio/p/10355195.html