方差、标准差和协方差三者之间的定义与计算

本文详细介绍了方差、标准差和协方差的概念,通过定义和计算方法阐述了它们的区别与联系。方差衡量数据与均值的偏离程度,标准差是方差的平方根。协方差则用于衡量两个变量的总体误差,其值正负表示变量变化的同向或反向程度。文中通过沪深300指数与格力电器涨跌额的例子,展示了如何计算这些统计量,并讨论了ddof参数的重要性。最后提到了相关系数,它是协方差的标准化形式,用于量化两个变量的线性相关程度。

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理解三者之间的区别与联系,要从定义入手,一步步来计算,同时也要互相比较理解,这样才够深刻。

 

方差

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中,方差(英文Variance)用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。在许多实际问题中,研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。

 

标准差

方差开根号。

 

协方差

在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。

可以通俗的理解为:两个变量在变化过程中是否同向变化?还是反方向变化?同向或反向程度如何?

你变大,同时我也变大,说明两个变量是同向变化的,这是协方差就是正的。

你变大,同时我变小,说明两个变量是反向变化的,这时协方差就是负的。

如果我是自然人,而你是太阳,那么两者没有相关关系,这时协方差是0。

从数值来看,协方差的数值越大,两个变量同向程度也就越大,反之亦然。

可以看出来,协方差代表了两个变量之间的是否同时偏离均值,和偏离的方向是相同还是相反。

公式:如果有X,Y两个变量,每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积,再对这每时刻的乘积求和并求出均值,即为协方差。

 

方差,标准差与协方差之间的联系与区别:

1. 方差和标准差都是对一组(一维)数据进行统计的,反映的是一维数组的离散程度;而协方差是对2组数据进行统计的,反映的是2组数据之间的相关性。

2. 标准差和均值的量纲(单位)是一致的,在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。比如一个班男生的平均身高是170cm,标准差是10cm,那么方差就是10cm^2。可以进行的比较简便的描述是本班男生身高分布是170±10cm,方差就无法做到这点。

3. 方差可以看成是协方差的一种特殊情况,即2组数据完全相同。

4. 协方差只表示线性相关的方向,取值正无穷到负无穷。

 

利用实例来计算方差、标准差和协方差

样本数据1:沪深300指数2017年3月份的涨跌额(%), [0.16,-0.67,-0.21,0.54,0.22,-0.15,-0.63,0.03,0.88,-0.04,0.20,0.52,-1.03,0.11,0.49,-0.47,0.35,0.80,-0.33,-0.24,-0.13,-0.82,0.56]

 

1. 计算沪深300指数2017年3月份的涨跌额(%)的方差

# Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03

datas = [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]

mean1 = sum(datas)/len(datas) # result =  0.0060869565217391355

square_datas = []

for i 
<think>好的,我现在需要回答用户关于如何计算最优投资组合的问题,用户提到了风险资产的种类、相关系数方差。根据马科维茨的均值-方差模型,这涉及到预期收益、风险(方差)以及资产之间协方差。我需要先回忆相关的理论公式,然后整理出具体的计算步骤。 首先,用户已经提供了一些引用,我需要结合这些引用中的内容。根据引用[1],马科维茨模型允许放空,建立了均值-方差模型。引用[2]提到风险用收益的标准差衡量,收益是预期收益率。引用[3]则指出需要用到方差相关性,即协方差矩阵。 接下来,我应该分步骤解释计算最优投资组合的方法。首先需要确定各个资产的预期收益率,然后计算协方差矩阵,这可以通过相关系数方差来构建。例如,协方差等于相关系数乘以两个资产的标准差的乘积。之后,建立优化问题,目标是最小化组合方差或者在给定收益下最小化风险,或者在给定风险下最大化收益。这通常涉及到二次规划,可能需要使用拉格朗日乘数法来求解。 需要明确目标函数约束条件。比如,在允许放空的情况下,权重可以为负;如果不允许放空,则权重需要非负。然后,求解得到最优权重。同时,用户可能需要了解有效边界的绘制方法,这需要计算不同预期收益下的最小方差组合。 此外,应该提到实际应用中可能需要使用优化软件或工具,比如Python中的SciPy库,或者金融相关的包如PyPortfolioOpt。这些工具可以帮助处理复杂的计算,尤其是在资产种类较多时。 用户可能的问题可能涉及如何选择预期收益率,如何处理协方差矩阵的估计误差,或者优化中的约束条件如何影响结果。因此,在相关问题部分,可以设计关于模型假设、实际应用中的调整以及计算工具的问题。 需要注意的是,公式必须用LaTeX正确表示,行内公式用$...$,独立公式用$$...$$并单独成段。同时,引用标识要自然地添加在引用内容的末尾。 现在,整理这些思路,形成一个结构清晰的回答,确保每个步骤详细但不过于冗长,并包含必要的公式示例。最后生成相关问题,帮助用户进一步学习。</think>基于马科维茨的均值-方差模型,计算最优投资组合需以下步骤: --- ### 一、基础定义 1. **资产参数** - 设有$n$种风险资产 - 预期收益率向量:$\boldsymbol{\mu} = (\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)^T$ - 协方差矩阵:$\boldsymbol{\Sigma}$(可通过相关系数$\rho_{ij}$方差$\sigma_i^2$计算,$\Sigma_{ij} = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j$)[^3] 2. **投资组合权重** - 权重向量:$\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, \dots, w_n)^T$,满足$\sum_{i=1}^n w_i = 1$(允许放空时权重可为负) --- ### 二、优化目标 #### 问题1:给定预期收益,最小化风险 **数学模型**: $$ \begin{aligned} \min_{\boldsymbol{w}} \quad & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w} \\ \text{s.t.} \quad & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\mu} = \mu_p \\ & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{1} = 1 \end{aligned} $$ 其中$\mu_p$为目标收益率。 #### 问题2:给定风险,最大化收益 **数学模型**: $$ \begin{aligned} \max_{\boldsymbol{w}} \quad & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\mu} \\ \text{s.t.} \quad & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w} \leq \sigma_p^2 \\ & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{1} = 1 \end{aligned} $$ 其中$\sigma_p^2$为可接受的最大方差。 --- ### 三、求解方法(以问题1为例) 1. **拉格朗日乘数法** 构造拉格朗日函数: $$ \mathcal{L} = \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w} + \lambda_1 (\mu_p - \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\mu}) + \lambda_2 (1 - \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{1}) $$ 2. **求导并解方程组** 对$\boldsymbol{w}$、$\lambda_1$、$\lambda_2$求偏导,得到线性方程组: $$ \begin{cases} 2 \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w} - \lambda_1 \boldsymbol{\mu} - \lambda_2 \boldsymbol{1} = 0 \\ \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{\mu} = \mu_p \\ \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{1} = 1 \end{cases} $$ 3. **解析解(允许放空)** 最优权重可表示为: $$ \boldsymbol{w}^* = \frac{ \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{1}) }{ (\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{1})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{1}) } \cdot \begin{pmatrix} \mu_p \\ 1 \end{pmatrix} $$ 其中$(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{1})$为$n \times 2$矩阵[^1]。 --- ### 四、实例演示(2种资产) 假设资产AB的预期收益为$\mu_A=0.1$、$\mu_B=0.15$,方差$\sigma_A^2=0.04$、$\sigma_B^2=0.09$,相关系数$\rho_{AB}=0.3$。 1. **协方差矩阵**: $$ \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 0.04 & 0.3 \times 0.2 \times 0.3 \\ 0.018 & 0.09 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.04 & 0.018 \\ 0.018 & 0.09 \end{pmatrix} $$ 2. **求解最优权重**(目标收益$\mu_p=0.12$): - 使用拉格朗日乘数法或数值工具(如Python的`scipy.optimize`)计算。 --- ### 五、实际应用工具 - **Python库**: ```python from scipy.optimize import minimize import numpy as np mu = np.array([0.1, 0.15]) Sigma = np.array([[0.04, 0.018], [0.018, 0.09]]) def objective(w): return w @ Sigma @ w constraints = [ {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1}, {'type': 'eq', 'fun': lambda w: w @ mu - 0.12} ] result = minimize(objective, x0=[0.5,0.5], constraints=constraints) print("最优权重:", result.x) ``` ---
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