状压DP【p1896】[SCOI2005]互不侵犯

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原文链接：http://www.cnblogs.com/-guz/p/9794102.html

本文探讨在N×N棋盘中放置K个国王，使其互不攻击的所有方案数。采用状压DP方法，详细解析状态转移方程与合法性判断，提供完整代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

所得的方案数

很明显\(N \leq 9\)状压DP啊 qwq.

这里有限制,我们只能放\(K\)个国王,并且如果一个格子有国王,其周围八个格子都不能放.

设状态\(f[i][j][k]\)代表前\(i\)行中第\(i\)行为\(j\)状态下共放了\(k\)个国王的方案数.

状态转移的话,我们当前行显然已经放了国王.

因此,转移可以很容易想到.
\[ f[i][j][l+calc(j)]+=f[i-1][k][l] \]
其中\(l\)为枚举的上一行所放的国王的个数,\(k\)为枚举的上一行的状态,\(calc(j)\)为计算\(j\)状态下有多少个国王被放置.

判断合法与否的话,只需要判断一下当前\(j\)状态与\(k\)状态\(＆\)起来是否为零。

如何判断状态合法

判断是否\(j\)状态的某一位置右上方有无国王.
\[ (j>>1)＆k==0 \]
同理左上方
\[ (j<<1)＆k==0 \]
正上方
\[ j＆k==0 \]
这几个方向是相对而言的.且我们从第\(1\)行到第\(n\)行放置的话,每次判断是否合法达到了判断6个方向的效果.

判断左右两侧当然是最简单的了
\[ j＆(j>>1)==0\ \ ＆＆ \ \ j＆(j<<1)==0 \]

代码

#include<cstdio>
#define int long long
#define R register
using namespace std;
int n,m,f[10][2048][108];
int lim,ans;
inline bool ok(int i)
{
    return ((i&(i<<1))==0 and (i&(i>>1))==0);
}//相邻方向. 
inline int calc(int x)
{
    int res=0;
    for(R int i=0;(1<<i)<=x;i++)
        res+=(bool)(x&(1<<i));
    return res;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    lim=(1<<n)-1;
    for(R int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(R int j=0;j<=lim;j++)
        {
            if(!ok(j))continue;
            for(R int k=0;k<=lim;k++)
            {
                if(!ok(k))continue;
                if((j&k)==0 and ((j<<1)&k)==0 and ((j>>1)&k)==0)
                {
                    R int now=calc(j);
                    for(R int l=0;l<=m;l++)
                        f[i][j][l+now]+=f[i-1][k][l];
                }
            }
        }
    }
    for(R int i=0;i<=lim;i++)
        ans+=f[n][i][m];
    printf("%lld\n",ans);
}

可以滚动数组滚掉第\(1\)维,切在枚举\(l\)的时候,第三维可能会超内存,因此要开大一点.当然也可以判断一下\(l+now \leq m\)

转载于:https://www.cnblogs.com/-guz/p/9794102.html