洛谷P4133 [BJOI2012]最多的方案(记忆化搜索)

最新推荐文章于 2025-09-11 18:44:42 发布

自我修炼的小石头

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数据结构与算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9667047.html

本文介绍了一种计算将整数n分解为不同斐波那契数之和的方法数量的算法。通过搜索和剪枝优化，最终实现了高效的解决方案。

题意

题目链接

求出把$n$分解为斐波那契数的方案数，方案两两不同的定义是分解出来的数不完全相同

Sol

这种题，直接爆搜啊。。。

打表后不难发现$<=1e18$的fib数只有88个

最先想到的应该是直接把$n$加入到搜索状态里，然后枚举能被分成哪些

但是这样分解出来的数可能会有重复的，因此我们还要把当前考虑到第几个数也加入到状态里。

不难得到以下代码

但是很显然会T飞。

优化一下，只考虑当前的fib数对答案的贡献，

也就是搜两种情况：

1、用该数分解

2、不用该数分解

代码是这样的

然而还是会T飞。

继续剪枝。

根据斐波那契的性质$\sum_{i = 1}^n f_i = f_{n+2} -1$

因此我们想要用前$ti - 1$个合成$x$，必须满足$x < f_{ti+1}$。

然后就A了qwq

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<map>
#define Pair pair<int, int>
#define MP(x, y) make_pair(x, y)
#define fi first
#define se second 
#define int long long
#define ull unsigned long long  
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int f[MAXN], tot, lim, dp[MAXN], N;
map<Pair, int> mp;
int dfs(int x, int ti) {
    if(mp.find(MP(x, ti)) != mp.end()) return mp[MP(x, ti)];
    if(x == 0) return 1;
    int ans = 0;
    /*for(int i = ti; i >= 1; i--) {
        if(x - f[i] >= 0) ans += dfs(x - f[i], i - 1);
        //else break;
    }*/
    if(x - f[ti] >= 0) ans += dfs(x - f[ti], ti - 1);
    if(x < f[ti + 1]) 
        ans += dfs(x, ti - 1);
    
    return mp[MP(x, ti)] = ans;
}
main() {
    lim = 1e18;
    f[1] = 1; f[2] = 2;
    for(int i = 3; i; i++) {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        if(f[i] > lim) {tot = i; break;}
    }
    N = read();
    //dp[0] = 1;
    cout << dfs(N, tot - 1);
    return 0;
}