Luogu3835 【模板】可持久化平衡树（fhq-treap）

最新推荐文章于 2022-11-06 18:48:03 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Gloid/p/10249484.html

本文深入探讨了FHQ-Treap（非旋Treap）的数据结构，详细讲解了其基本操作merge和split的实现原理及过程，展示了如何在不进行旋转操作的情况下维护Treap，同时介绍了FHQ-Treap的可持久化特性。

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　　fhq-treap，也即非旋treap，可以在不进行旋转操作的前提下维护treap。由于不需要旋转，可以对其可持久化。

　　fhq-treap的基本操作是merge和split，并且通过这两个操作实现对treap的各项维护。

　　merge用来合并两棵treap，且要求满足其中一棵treap中的最大值小于另一棵treap中的最小值。实现方式类似于左偏树，即每次考虑合并以x为根和以y为根的子树（不妨令x子树中的值较小）。因为要维持treap自身的性质，合并后应该以x和y中优先级较高的为根。如果x优先级较高，继续将x的右子树与y合并，再将所得子树作为x的右子树；如果y优先级较高，继续将y的左子树与x合并，再将所得子树作为y的左子树。这里就可以进行可持久化。因为树高是期望log的，合并复杂度即为log。

　　split用来将一棵treap分裂为两棵，且分裂后使得前k小的作为一棵treap，剩下的作为另一棵。具体地，分裂以x为根的子树时，考虑前k小的所处位置。如果左子树大小恰好为k，分裂后直接退出；如果左子树大小>k，显然应该进入左子树继续操作，分裂后返回两棵treap的根，其中一棵接到已分裂好的原treap上。另一种情况类似。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 500010
#define inf 2147483647
#define pii pair<int,int>
#define lson tree[k].ch[0]
#define rson tree[k].ch[1]
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,root[N],cnt;
struct data{int ch[2],x,p,s;
}tree[N<<6];
void up(int k){tree[k].s=tree[lson].s+tree[rson].s+1;}
int qnum(int k,int x)
{
    if (tree[lson].s+1==x) return tree[k].x;
    if (tree[lson].s+1>x) return qnum(lson,x);
    else return qnum(rson,x-tree[lson].s-1);
}
int qrank(int k,int x)
{
    if (!k) return 0;
    if (tree[k].x>=x) return qrank(lson,x);
    else return tree[lson].s+1+qrank(rson,x);
}
int qpre(int k,int x)
{
    if (!k) return -inf;
    if (tree[k].x>=x) return qpre(lson,x);
    else return max(tree[k].x,qpre(rson,x));
}
int qsuf(int k,int x)
{
    if (!k) return inf;
    if (tree[k].x<=x) return qsuf(rson,x);
    else return min(tree[k].x,qsuf(lson,x));
}
int merge(int x,int y)
{
    if (!x||!y) return x|y;
    int k=++cnt;
    if (tree[x].p>tree[y].p)
    {
        tree[k]=tree[x];
        rson=merge(rson,y);
    }
    else
    {
        tree[k]=tree[y];
        lson=merge(x,lson);
    }
    up(k);
    return k;
}
pii split(int k,int x)
{
    if (!k) return make_pair(0,0);
    int u=++cnt;tree[u]=tree[k];
    if (tree[tree[u].ch[0]].s==x) return tree[u].ch[0]=0,up(u),make_pair(lson,u);
    if (tree[tree[u].ch[0]].s>x)
    {
        pii v=split(tree[u].ch[0],x);
        return tree[u].ch[0]=v.second,up(u),make_pair(v.first,u);
    }
    else
    {
        pii v=split(tree[u].ch[1],x-tree[tree[u].ch[0]].s-1);
        return tree[u].ch[1]=v.first,up(u),make_pair(u,v.second);
    }
}
int newpoint(int x)
{
    cnt++;tree[cnt].x=x,tree[cnt].p=rand(),tree[cnt].s=1,tree[cnt].ch[0]=tree[cnt].ch[1]=0;
    return cnt;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("fhqtreap.in","r",stdin);
    freopen("fhqtreap.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    srand(20020509);
    m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int last=read(),op=read(),x=read();
        root[i]=root[last];
        switch (op)
        {
            case 1:
            {
                int u=qrank(root[i],x),v=newpoint(x);
                pii p=split(root[i],u);
                root[i]=merge(merge(p.first,v),p.second);
                break;
            }
            case 2:
            {
                int p=qrank(root[i],x);
                if (qnum(root[i],p+1)==x)
                {
                    pii u=split(root[i],p),v=split(u.second,1);
                    root[i]=merge(u.first,v.second);
                }
                break;
            }
            case 3:
            {
                printf("%d\n",qrank(root[i],x)+1);
                break;
            }
            case 4:
            {
                printf("%d\n",qnum(root[i],x));
                break;
            }
            case 5:
            {
                printf("%d\n",qpre(root[i],x));
                break;
            }
            case 6:
            {
                printf("%d\n",qsuf(root[i],x));
                break;
            }
        }
        //for (int j=1;j<=m;j++) cout<<root[j]<<' ';cout<<endl;
        //for (int j=1;j<=cnt;j++) cout<<tree[j].x<<' '<<tree[j].s<<' '<<tree[j].ch[0]<<' '<<tree[j].ch[1]<<endl;cout<<endl;
    }
    return 0;
}