最长公共上升子序列$LCIS$

今天做题做到\(LCIS\)的题目，然后不知道为啥走神连带看知乎最后一个半小时才搞懂

所以讲\(LCIS\)之前也说说\(LCS \& LIS\)

\(LIS\)

\(LIS\)又名最长上升子序列，就是让你求最长上升的序列。
话不多说，直接上代码吧，反正不是重点。这里主要讲的是二分查找优化

for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        p=a[i];
        if(p<=f[len])
        {
            f[++len]=p;
            continue;
        }
        int l=0,r=len;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)/2;
            if(p<=f[mid])
                l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        f[l]=p;
    }

其实c++里面还有一个黑科技函数叫做\(lower\_bound\)，你要是不写二分查找可以用一下这个函数，挺实用的。

\(LCS\)

\(LCS\)又名最长公共子序列，复杂度如果不是特定题目的话普遍为\(nm\)，因为他需要遍历两个数组。
设方程\(dp[i][j]\)表示\(a\)到\(i\)，\(b\)到\(j\)的序列时的最长长度，因此，\(dp\)方程显而易见的就求出来了
\[ dp[i][j]= \begin{cases} \max(dp[i-1][j],\,dp[i][j-1])\\ dp[i-1][j-1],\,(a[i]=b[j])\\ \end{cases} \]
然后就是代码

 for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j])
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1])+1;
        }

\(LCIS\)

这才是今天要讲的重点。

首先设一个方程\(dp[i][j]\)表示\(a\)以\(i\)结尾，\(b\)以\(j\)结尾并且末尾一定是\(b_j\)的公共子序列。
首先就是转移方程\(dp[i][j]=dp[i-1][j]\)，为啥呢。
因为这是以\(b_j\)结尾的，所以它需要从上一维中获得状态转移。
然后就是分两种情况，一种是\(a[i]=b[j]\)，另一种\(a[i]>b[j]\)。
如果\(a[i]>b[j]\)，那肯定存在一个\(a_1 \cdots a_k\)中必定有一个小于\(b_j\)，所以我们就用一个变量维护小于\(b_j\)的最长长度。
如果\(a[i]==b[j]\)，那么存在两种选择，选还是不选？
如果选，那么\(dp[i][j]=mx+1\)，如果不选，那就是原值。所以方程为\(dp[i][j]=max(dp[i][j],mx+1)\)。

for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int mx=0;
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(a[i]>b[j]) mx=max(mx,f[i-1][j]);
                f[i][j]=f[i-1][j];
                if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],mx+1);
            }
        }   

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