64位整数乘法

最新推荐文章于 2022-11-07 20:56:29 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Mr94Kevin/p/10325252.html

本文探讨了在算法竞赛中处理大数乘法模运算的两种高效方法，避免了直接相乘引起的溢出和累加操作导致的时间复杂度过高问题。通过二进制表示和利用除法取余特性，提供了既快速又准确的解决方案。

//总结自李煜东著《算法竞赛进阶指南》

问题：求a乘b对p取模的值，其中1<=a,b,p<=10^18。

简单的暴力相乘显然会溢出（相当于对64位整数最大值+1取模），对a进行b次累加显然会超时。

法一：

仿照快速幂，用二进制表示b。

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
 4     a %= p, b %= p;
 5     ll ans = 0;
 6     while (b) {
 7         if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
 8         a = a * 2 % p, b >>= 1;
 9     }
10     return ans;
11 }

法二：

利用a*b%p=a*b-floor(a*b/p)*p求解，其中floor函数表示向下取整。

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
 4     a %= p, b %= p;
 5     ll c = (long double)a * b / p;
 6     ll ans = a * b - c * p;
 7     if (ans < 0) ans += p;
 8     else if (ans >= p) ans -= p;
 9     return ans;
10 }