UOJ.179.线性规划(单纯形)

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原文链接：http://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9361011.html

本文详细介绍了线性规划的基本概念，通过引入基变量和使用单纯形法求解线性规划问题。阐述了如何通过Pivot操作进行基变量与非基变量的转换，以及如何判断解的存在性和解的最优性。

题目链接

　　这写得还不错：http://www.cnblogs.com/zzqsblog/p/5457091.html

　　引入基变量\(x_{i+n}\)，将约束\(\sum_{i=1}^m a_{ij}x_j\leq b_i\)改写为\[x_{i+n}=b_i-\sum_{i=1}^m a_{ij}x_j\]。
　　目标函数为\(\sum_{i=1}^n C_ix_i\)。当存在\(r,c\)满足\(C_c>0\),\(B_r>0\),\(a_{rc}>0\)，对第\(r\)个限制中的\(x_c\)做代换，即\[x_c=B_r-\sum_{j!=c}a_{rj}x_j-x_{r+n}\]（\(x_c\)成为基变量，\(x_{r+n}\)成为非基变量），然后代入目标函数中，非基变量取0，就一定可以使目标函数增大。这一步通过\(Pivot(r,c)\)(转轴)实现，同时要把其它约束中的\(x_c\)替换掉。
　　当所有\(B_r\geq 0\)时，所有非基变量取0可以得到一个基本解（零解），即一定存在解。若存在\(B_r<0\)，在限制\(r\)中找一个\(a_{rc}<0\)的\(x_c\)做代换，就可以使\(B_r>0\)。
　　当然前提是任意\(x_i>0,i\in [1,n+m]\)。

//0ms   520kb
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define eps 1e-8
const int N=25;
const double INF=1e9;

int n,m,id[50];
double A[N][N],Ans[N];

inline int read()
{
    int now=0,f=1;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now*f;
}
void Pivot(int r,int c)//r:Basic varivle c:Nonbasic variable
{//交换基变量与非基变量 
    std::swap(id[r+n],id[c]);
    double t=A[r][c]; A[r][c]=1;//
    for(int i=0; i<=n; ++i) A[r][i]/=t;
    for(int i=0; i<=m; ++i)//在其它等式中换掉基变量 
        if(fabs(A[i][c])>eps && i!=r)
        {
            t=A[i][c]; A[i][c]=0;//
            for(int j=0; j<=n; ++j) A[i][j]-=t*A[r][j];
        }
}
bool Init()
{
    for(int r,c; ; )
    {
        r=c=0;
        for(int i=1; i<=m; ++i)//B[r]<0
            if(A[i][0]<-eps && (!r || rand()&1)) r=i;
        if(!r) return 1;
        for(int i=1; i<=n; ++i)//A[r][c]<0
            if(A[r][i]<-eps && (!c || rand()&1)) c=i;
        if(!c) return puts("Infeasible"),0;
        Pivot(r,c);
    }
}
bool Simplex()
{
    for(int r,c; ; )
    {
        r=c=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)//C[c]>0 
            if(A[0][i]>eps) {c=i; break;}
        if(!c) return 1;
        double mn=INF;//找一个系数为正且约束最紧的A[r][c] 
        for(int i=1; i<=m; ++i)
            if(A[i][c]>eps && A[i][0]/A[i][c]<mn) r=i, mn=A[i][0]/A[i][c];
        if(!r) return puts("Unbounded"),0;//无约束
        Pivot(r,c);
    }
}

int main()//x[i+n]=B[i]-∑a[i][j]*x[j]
{
    srand(20180724);
    n=read(), m=read(); int type=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) A[0][i]=read();//目标函数系数C[i] 
    for(int i=1; i<=m; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=n; ++j) A[i][j]=read();
        A[i][0]=read();//B[i]
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i) id[i]=i;
    if(Init() && Simplex())
    {
        printf("%.8lf\n",-A[0][0]);//代换的时候Bi系数是负的s 
        if(type)
        {
            for(int i=1; i<=m; ++i) Ans[id[i+n]]=A[i][0];//成为基变量的xi取值即为bi，非基变量上的xi取0.
            for(int i=1; i<=n; ++i) printf("%.8lf ",Ans[i]);
        }
    }

    return 0;
}

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