UVa 10870 (矩阵快速幂) Recurrences

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本文介绍了如何使用模运算和矩阵快速幂算法解决线性递推关系问题，并通过实例展示了求解过程。重点在于利用矩阵乘法和幂次运算的高效实现来简化复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给出一个d阶线性递推关系，求f(n) mod m的值。

$A=\begin{bmatrix} & 1 & & & \\ & & 1 & & \\ & & & ... & \\ & & & & 1 \\ a_{d} & a_{d-1} & a_{d-2} & ... & a_{1} \end{bmatrix}$ , $v_{0}=\begin{bmatrix} f(1)\\ f(2)\\ ...\\ f(d) \end{bmatrix}$

求出A^n-dv₀，该向量的最后一个元素就是所求。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn = 20;
 7 
 8 typedef long long Matrix[maxn][maxn];
 9 typedef long long Vector[maxn];
10 
11 int d, n, m;
12 
13 void matrix_mul(Matrix A, Matrix B, Matrix res)
14 {
15     Matrix C;
16     memset(C, 0, sizeof(C));
17     for(int i = 0; i < d; i++)
18         for(int j = 0; j < d; j++)
19             for(int k = 0; k < d; k++)
20                 C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j]) % m;
21     memcpy(res, C, sizeof(C));
22 }
23 
24 void matrix_pow(Matrix A, int n, Matrix res)
25 {
26     Matrix a, r;
27     memcpy(a, A, sizeof(a));
28     memset(r, 0, sizeof(r));
29     for(int i = 0; i < d; i++) r[i][i] = 1;
30     while(n)
31     {
32         if(n&1) matrix_mul(r, a, r);
33         n >>= 1;
34         matrix_mul(a, a, a);
35     }
36     memcpy(res, r, sizeof(r));
37 }
38 
39 int main()
40 {
41     //freopen("in.txt", "r", stdin);
42 
43     while(cin >> d >> n >> m && d)
44     {
45         Matrix A;
46         memset(A, 0, sizeof(A));
47         Vector a, f;
48         for(int i = 0; i < d; i++) { cin >> a[i]; a[i] %= m; }
49         for(int i = 0; i < d; i++) { cin >> f[i]; f[i] %= m; }
50         if(n <= d) { cout << f[n-1] << "\n"; continue; }
51         for(int i = 0; i < d-1; i++) A[i][i+1] = 1;
52         for(int i = 0; i < d; i++) A[d-1][i] = a[d-i-1];
53         matrix_pow(A, n-d, A);
54         long long ans = 0;
55         for(int i = 0; i < d; i++) ans = (ans + A[d-1][i]*f[i]) % m;
56         cout << ans << "\n";
57     }
58 
59     return 0;
60 }

代码君

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