HDU1054Strategic Game(最小顶点覆盖数)

最新推荐文章于 2021-08-09 20:00:44 发布

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#数据结构与算法

本文深入探讨了匈牙利算法，一种求解二分图最大匹配的经典算法，详细解释了算法原理，包括增广路径、饱和点等概念，并提供了一个实际问题的解决案例，展示了如何在树形结构中应用该算法求最小顶点覆盖。

我们来先了解一下什么是最小顶点覆盖；

图G的顶点覆盖是一个顶点集合V，使得G中的每一条边都接触V中的至少一个顶点。我们称集合V覆盖了G的边。最小顶点覆盖是用最少的顶点来覆盖所有的边。顶点覆盖数 $\tau$ 是最小顶点覆盖的大小。

相应地，图G的边覆盖是一个边集合E，使得G中的每一个顶点都接触E中的至少一条边。

如果只说覆盖，则通常是指顶点覆盖，而不是边覆盖。

在二分图中：最大匹配数=最小顶点覆盖数；

求二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

所以下面介绍主要一下匈牙利算法：

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。

M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如：路径（X3,Y2,X1,Y4），（Y1,X2,Y3）。

M-饱和点：对于v∈V(G），如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。

M-可增广路：p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如（X3,Y2,X1,Y4）。（不要和流网络中的增广路径弄混了）

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。

增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1－P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’。

3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

算法轮廓：

⑴置M为空

⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止

接下来说说这题，经典的最小顶点覆盖题；

题意：鲍勃喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏，但有时他无法找到解决方案，速度不够快，那么他很伤心。现在，他有以下的问题。他必须捍卫一个中世纪的城市，形成了树的道路。他把战士的最低数量的节点上，使他们可以观察所有的边。你能帮助他吗？士兵，鲍勃把一个给定的树，你的程序应该发现的最小数目。输入文件包含多个数据集的文本格式。

题解：可以用匈牙利算法求解;用stl模版中的向量容器存放双向邻接表；

注意：1.本题中编号是从0开始；所以ret[]应初始化为-1；

2：向量要清零；

代码实现:

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
#define MAX   1505
int visit[MAX];//标记节点是否被访问过；
int ret[MAX];//标记n个节点的增广节点的编号
vector<int>map[MAX];//用stl模版中的向量存放邻接表
int find(int cur )//找增广路径
{
     for(int i=0;i<map[cur].size();i++)
     {
          int j=map[cur][i];
          if(!visit[j])//若j与cur相邻，且没有被标记
          {
               visit[j]=1;
               if(ret[j]==-1||find(ret[j]))//如果j未在前一个匹配M中，或者，j在匹配M中，但从j相邻的节点出发可以找到增广路
               {
                    ret[j]=cur;//则把cur放到匹配M中；
                    return 1;
               }
          }
     }
     return 0;
}
int main()
{
  // freopen("input.txt","r",stdin);
     int n,x,m,y;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
          for(int i=0;i<n;i++)map[i].clear();//注意要清零；
          for(int i=0;i<n;i++)
          {
               scanf("%d:(%d)",&x,&m);
               for(int j=0;j<m;j++)
               {
                    scanf("%d",&y);
                    map[x].push_back(y);//用向量存放双向邻接表
                    map[y].push_back(x);
               }
          }
          int sum=0;
          memset(ret,-1,sizeof(ret));//因为节点从0开始，所以要赋值为-1；
          for(int i=0;i<n;i++)//
          {
               memset(visit,0,sizeof(visit));
               sum+=find(i);//若有增广路，匹配数则加一
          }
          printf("%d\n",sum/2);//最小顶点覆盖 == 最大匹配（双向图）/2；
     }
   return 0;
}

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