E - Strategic Game (HDU - 1054 )(最小顶点覆盖)(匈牙利算法模板)(树形DP)

最新推荐文章于 2020-07-01 11:34:12 发布

Draven__

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分类专栏：姗姗杯算法文章标签：树形DP 匈牙利算法模板

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博客讲述了如何利用匈牙利算法和树形DP解决最小顶点覆盖问题，以帮助鲍勃在战略游戏中防御城市。文章解释了最小顶点覆盖的概念，König定理，以及如何将树转化为二分图。还提供了匈牙利算法的资源链接和树形DP的状态转移方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：鲍勃喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏，但有时他无法找到解决方案，速度不够快，那么他很伤心。现在，他有以下的问题。他必须捍卫一个中世纪的城市，形成了树的道路。他把战士的最低数量的节点上，使他们可以观察所有的边。你能帮助他吗？士兵，鲍勃把一个给定的树，你的程序应该发现的最小数目。输入文件包含多个数据集的文本格式。

我们来先了解一下什么是最小顶点覆盖；

图G的顶点覆盖是一个顶点集合V，使得G中的每一条边都接触V中的至少一个顶点。我们称集合V覆盖了G的边。最小顶点覆盖是用最少的顶点来覆盖所有的边。顶点覆盖数 $\tau$ 是最小顶点覆盖的大小。

相应地，图G的边覆盖是一个边集合E，使得G中的每一个顶点都接触E中的至少一条边。

如果只说覆盖，则通常是指顶点覆盖，而不是边覆盖。

由König定理定理可知，二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。

关于König定理的证明网上也比较多。大家可以百度找一找。题目中的这棵树之所以可以当成二分图，是因为如果从一个点出发，那么可以将整棵树分成奇数点层和偶数点层。由于树是一种特殊的图。n个点由(n-1)条边连接起来。这样假定一个点为树的根，假设各点间的边权值为1。那么从树根出发遍历整棵树，根据各点到根的路径的奇偶性即可将所有点分成两个集合。奇数点与偶数点交替出现。假设奇数点与偶数点连边，偶数点则继续和下一层的奇数点连边。这就与二分图中同类集合点间无边，不同类集合点间有边相连吻合起来了。所以满足二分图的性质。也可以用二分图最大匹