[O(N)的我不会]树网的核-优快云博客

本文介绍了一种算法，用于寻找特定树网中长度不超过给定值的路径，使其偏心距最小，该路径被称为树网的核。文章详细阐述了如何通过两步搜索找到树的直径，并进一步确定树网的中心及核。

【题目描述】

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。

一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离：

d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即 ECC(F)=max{d(v,F),v∈V}.

任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

【输入格式】

输入文件包含n行：
第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, ..., n。
从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。
所给的数据都是正确的，不必检验。

【输出格式】

输出文件只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

【样例输入】

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

【样例输出】

5
【分析】

首先找到一个树的直径。方法是：从1点出发，找到距离1最远的点，记为x。然后从x出发，所搜索到的最远路径就是树的直径。

然后我们用搜索的方法计算每个点到直径的最短距离dist。

之后在直径上枚举路径的起点和终点。找到最小的偏心距。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>
#define MAXN 310
struct tnode {
  int num;
  tnode *next;
} g[MAXN],*t;
int q[MAXN * 3],list[MAXN],loc[MAXN],dist[MAXN],from[MAXN],dis[MAXN],
    di[MAXN][MAXN],xdis[MAXN][MAXN];
int n,l,r,s,x,y,z,tot,ans;
bool v[MAXN],in_tree[MAXN];
void insert(int x,tnode &p) {
  t = new(tnode);
  t->num = x;
  t->next = p.next;
  p.next = t;
}
void dfs(int father,int x) {
  tnode *tt;
  tt = g[x].next;
  while (tt != NULL) {
    int y = tt->num;
    if (!in_tree[y])
      if (dist[x] + di[x][y] < dist[y]) {
        dist[y] = dist[x] + di[x][y];
        from[y] = father;
        dfs(father,y);
      }
    tt = tt->next;
  }
}
int main() { 
  scanf("%d%d",&n,&s);
  for (int i = 1;i < n;++i) {
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    insert(x,g[y]);
    insert(y,g[x]);
    di[x][y] = z;
    di[y][x] = z;
  }
  q[0] = 1;
  v[1] = 1;
  while (l <= r) {
    x = q[l];
    t = g[x].next;
    while (t != NULL) {
      y = t->num;
      if (y != from[x])
      if (dis[y] < di[x][y] + dis[x]) {
        dis[y] = di[x][y] + dis[x];
        from[y] = x;
        if (!v[y]) {
          q[++r] = y;
          v[y] = 1;
        }
      }
      t = t->next;
    }
    ++l;
    v[x] = 0;
  }
  z = 0;
  for (int i = 1;i <= n;++i)
    if (dis[i] > z) {
      z = dis[i];
      x = i;
    }
  memset(from,0,sizeof(from));
  memset(v,0,sizeof(v));
  v[x] = 1;
  memset(dis,0,sizeof(dis));
  q[0] = x;
  v[x] = 1;
  l = r = 0;
  while (l <= r) {
    x = q[l];
    t = g[x].next;
    while (t != NULL) {
      y = t->num;
      if (from[x] != y)
      if (dis[y] < di[x][y] + dis[x]) {
        dis[y] = di[x][y] + dis[x];
        from[y] = x;
        if (!v[y]) {
          q[++r] = y;
          v[y] = 1;
        }
      }
      t = t->next;
    }
    ++l;
    v[x] = 0;
  }
  z = 0;
  for (int i = 1;i <= n;++i)
    if (dis[i] > z) {
      z = dis[i];
      x = i;
    }
  list[++tot] = x;
  while (from[x]) {
    x = from[x];
    list[++tot] = x;
  }
  for (int i = 1;i <= tot;++i) {
    loc[list[i]] = i;
    in_tree[list[i]] = 1;
  }
  for (int i = 1;i <= tot;++i)
    for (int j = i + 1;j <= tot;++j)
      xdis[i][j] = xdis[i][j - 1] + di[list[j - 1]][list[j]];
  memset(from,0,sizeof(from));
  for (int i = 1;i <= n;++i)
    if (!in_tree[i])
      dist[i] = INT_MAX;
  for (int i = 1;i <= tot;++i)
    dfs(list[i],list[i]);
  ans = INT_MAX;
  for (int st = 1;st <= tot;++st)
    for (int en = st;en <= tot;++en) {
      if (xdis[st][en] > s)
        break;
      int te_ans = 0;
      for (int i = 1;i <= n;++i)
        if (!in_tree[i]) {
          if (dist[i] > te_ans)
            te_ans = dist[i];
        } else {
          x = loc[i];
          if (x < st) {
            if (dist[i] + xdis[x][st] > te_ans)
              te_ans = dist[i] + xdis[x][st];
          }
          if (x > en) {
            if (dist[i] + xdis[en][x] > te_ans)
              te_ans = dist[i] + xdis[en][x];
          }
        }
      if (te_ans < ans)
        ans = te_ans;
    }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/sephirothlee/archive/2010/10/14/1850939.html