【bzoj2194】快速傅立叶之二 FFT

最新推荐文章于 2019-12-16 21:16:07 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6878453.html

本文介绍了一种使用快速傅立叶变换（FFT）解决特定卷积问题的方法。该问题要求计算一系列公式C[k]=sigma(a[i]*b[i-k])，其中涉及数组a和b的元素。通过将问题转化为卷积形式并利用FFT进行高效计算，文章提供了一个完整的C++实现代码。

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题目描述

请计算C[k]=sigma(a[i]*b[i-k]) 其中 k < = i < n ，并且有 n < = 10 ^ 5。 a,b中的元素均为小于等于100的非负整数。

输入

第一行一个整数N,接下来N行，第i+2..i+N-1行，每行两个数，依次表示a[i],b[i] (0 < = i < N)。

输出

输出N行，每行一个整数，第i行输出C[i-1]。

样例输入

5
3 1
2 4
1 1
2 4
1 4

样例输出

24
12
10
6
1

题解

FFT

令d[i]=b[n-1-i]，则a[i]*b[i-k]=a[i]*b[n-1-(n-1-i+k)]=a[i]*d[n+k-1-i]。

可以看到这是一个卷积的形式，于是裸上FFT搞定。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define N 1 << 20
#define pi acos(-1)
using namespace std;
struct data
{
	double x , y;
	data() {x = y = 0;}
	data(double x0 , double y0) {x = x0 , y = y0;}
	data operator +(const data a)const {return data(x + a.x , y + a.y);}
	data operator -(const data a)const {return data(x - a.x , y - a.y);}
	data operator *(const data a)const {return data(x * a.x - y * a.y , x * a.y + y * a.x);}
}a[N] , b[N];
void fft(data *a , int n , int flag)
{
	int i , j , k;
	for(i = k = 0 ; i < n ; i ++ )
	{
		if(i > k) swap(a[i] , a[k]);
		for(j = (n >> 1) ; (k ^= j) < j ; j >>= 1);
	}
	for(k = 2 ; k <= n ; k <<= 1)
	{
		data wn(cos(2 * pi * flag / k) , sin(2 * pi * flag / k));
		for(i = 0 ; i < n ; i += k)
		{
			data t , w(1 , 0);
			for(j = 0 ; j < (k >> 1) ; j ++ , w = w * wn)
			{
				t = w * a[i + j + (k >> 1)];
				a[i + j + (k >> 1)] = a[i + j] - t;
				a[i + j] = a[i + j] + t;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int n , i , len;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) scanf("%lf%lf" , &a[i].x , &b[n - i - 1].x);
	for(len = 1 ; len <= 2 * n ; len <<= 1);
	fft(a , len , 1) , fft(b , len , 1);
	for(i = 0 ; i < len ; i ++ ) a[i] = a[i] * b[i];
	fft(a , len , -1);
	for(i = n - 1 ; i <= 2 * n - 2 ; i ++ ) printf("%lld\n" , (long long)(a[i].x / len + 0.1));
	return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6878453.html