Luogu P5316 【恋恋的数学题】

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原文链接：http://www.cnblogs.com/--BLUESKY007/p/10755001.html

本文详细解析了一种数学算法，针对特定条件下的整数求解问题，通过分类讨论的方式，提供了k=2, k=3及k=4时的解决方案。在k=3的情况下，利用小学数学原理，通过计算各组数的乘积和最大公约数，巧妙地求解未知数，并避免了溢出问题。对于k=4，采用类似k=3的方法，分别求解不同组合，最终合并答案。

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是个神仙题

就三种情况，分类讨论。

\(k=2\)：

因为保证有解，所以直接输出即可。

\(k=3\)：

由于对应情况可以枚举全排列寻找，所以在此只考虑顺序对应时的情况，不妨设六个数分别为\(g_{ab},g_{ac},g_{bc},l_{ab},l_{ac},l_{bc}\)，由小学数学知识可知\(g_{ab}l_{ab}=ab,g_{ac}l_{ac}=ac,g_{bc}l_{bc}=bc\)，又\(\large\frac{ab\cdot ac}{bc}\normalsize=a^2\)，所以\(a=\sqrt{\large\frac{ab\cdot ac}{bc}}\)，同理\(b=\sqrt{\large\frac{ab\cdot bc}{ac}},c=\sqrt{\large\frac{ac\cdot bc}{ab}}\)。需要注意的是直接算\(ab\cdot ac\)会爆__int128，在此改为计算\(\Large\frac{ab}{\gcd(ab,bc)}\cdot\frac{ac}{\frac{bc}{\gcd(ab,bc)}}\)。

\(k=4\)：

同\(k=3\)，不妨设所有数分别为\(g_{ab},g_{ac},g_{bc},g_{ad},g_{bd},g_{cd},l_{ab},l_{ac},l_{bc},l_{ad},l_{bd},l_{cd}\)，由于已知\(k=3\)的解法，分别求\(a,b,c\)，\(a,b,d\)即可，最后合并答案。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef __int128 LLL;

LLL gcd(LLL u,LLL v){
    if(v==0){
        return u;
    }
    return gcd(v,u%v);
}

LLL lcm(LLL u,LLL v){
    return u/gcd(u,v)*v;
}

LLL sqrt(LLL u){
    LLL mid,l=1,r=1e18;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(mid*mid==u){
            return mid;
        }
        else if(mid*mid<u){
            l=mid+1;
        }
        else{
            r=mid-1;
        }
    }
    return 0;
}

LLL div(LLL a,LLL b,LLL c){
    LLL _g=gcd(a,c);
    c/=_g;
    return (a/_g)*(b/c);
}

int t,k,n;

LL g[10],l[10],ans[10];

vector<LL>solve3(LLL g12,LLL g13,LLL g23,LLL l12,LLL l13,LLL l23){
    LLL ans1,ans2,ans3,x12,x13,x23;
    x12=g12*l12;
    x13=g13*l13;
    x23=g23*l23;
    ans1=sqrt(div(x12,x13,x23));
    ans2=sqrt(div(x12,x23,x13));
    ans3=sqrt(div(x23,x13,x12));
    if(ans1*ans2*ans3==0){
        return {};
    }
    if(gcd(ans1,ans2)==g12&&lcm(ans1,ans2)==l12&&
    gcd(ans2,ans3)==g23&&lcm(ans2,ans3)==l23&&
    gcd(ans1,ans3)==g13&&lcm(ans1,ans3)==l13){
        return {(LL)ans1,(LL)ans2,(LL)ans3};
    }
    else{
        return {};
    }
}

void solve(){
    if(k==2){
        ans[1]=g[1];ans[2]=l[1];
    }
    else if(k==3){
        for(int i=6;i;i--,next_permutation(g+1,g+4)){
            for(int j=6;j;j--,next_permutation(l+1,l+4)){
                auto rep=solve3(g[1],g[2],g[3],l[1],l[2],l[3]);
                if(rep.empty()){
                    continue;
                }
                ans[1]=rep[0];ans[2]=rep[1];ans[3]=rep[2];
                return;
            }
        }
    }
    else{
        for(int i=720;i;i--,next_permutation(g+1,g+7)){
            for(int j=720;j;j--,next_permutation(l+1,l+7)){
                auto rep1=solve3(g[1],g[2],g[3],l[1],l[2],l[3]),rep2=solve3(g[1],g[4],g[5],l[1],l[4],l[5]);
                if(rep1.empty()||rep2.empty()){
                    continue;
                }
                if(rep1[0]!=rep2[0]||rep1[1]!=rep2[1]){
                    continue;
                }
                if(gcd(rep1[2],rep2[2])!=g[6]||lcm(rep1[2],rep2[2])!=l[6]){
                    continue;
                }
                ans[1]=rep1[0];ans[2]=rep1[1];ans[3]=rep1[2];ans[4]=rep2[2];
                return;
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&t,&k);
    n=(k-1)*k/2;
    while(t--){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&g[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&l[i]);
        }
        solve();
        for(int i=1;i<=k;i++){
            printf("%lld%c",ans[i]," \n"[i==k]);
        }
    }
    return 0;
}

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