[POJ 3233]Matrix Power Series

最新推荐文章于 2023-12-30 17:20:46 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/11128622.html

本文介绍了一种利用矩阵快速幂技巧求解特定形式的矩阵序列和的方法。针对给定的n×n矩阵A和正整数k，通过构建特殊矩阵S并运用快速幂算法，高效计算A+A^2+A^3+...+A^k的和，特别适用于大规模数据处理，如n≤30,k≤10^9,m<10^4的情况。

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Description

题库链接

给定 \(n\times n\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 和正整数 \(k\)，求和 \(\mathbf{T}=\mathbf{A}+\mathbf{A}^2+\mathbf{A}^3+\cdots+\mathbf{A}^k\)。矩阵元素对 \(m\) 取模。

\(n \leq 30,k\leq 10^9,m<10^4\)

Solution

像这种等比数列的前 \(n\) 项和很容易想到用矩阵快速幂实现。

而对于等比矩阵的前 \(n\) 项和我们同样设法用矩阵实现。

我们记矩阵 \[\mathbf S=\begin{bmatrix}\mathbf A &\mathbf E\\0&\mathbf E\\\end{bmatrix}\]

其中 \(\mathbf E\) 为单位矩阵。

可知 \({\mathbf S}^2=\begin{bmatrix}\mathbf A^2 &\mathbf A+\mathbf E\\0&\mathbf E\\\end{bmatrix},{\mathbf S}^3=\begin{bmatrix}\mathbf A^3 &\mathbf A^2+\mathbf A+\mathbf E\\0&\mathbf E\\\end{bmatrix},\cdots,{\mathbf S}^{k+1}=\begin{bmatrix}\mathbf A^{k+1} &\mathbf A^k+\mathbf A^{k-1}+\cdots+\mathbf A^2+\mathbf A+\mathbf E\\0&\mathbf E\\\end{bmatrix}\)

故答案为 \({\mathbf S}^{k+1}\) 的右上角矩阵减去一个单位矩阵。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 65;

int n, k, m;
struct mat {
    int a[N][N];
    mat() {memset(a, 0, sizeof(a)); }
    mat operator * (const mat &b) const {
        mat ans;
        for (int i = 1; i <= (n<<1); i++)
            for (int j = 1; j <= (n<<1); j++)
                for (int k = 1; k <= (n<<1); k++)
                    (ans.a[i][j] += (a[i][k]*b.a[k][j])) %= m;
        return ans;
    }
} S, E;

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &S.a[i][j]), S.a[i][j] %= m;
        S.a[i][i+n] = S.a[i+n][i+n] = 1;
    }
    E = S;
    while (k) {
        if (k&1) S = S*E;
        k >>= 1, E = E*E;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) S.a[i][i+n]--;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            printf("%d%c", (S.a[i][j+n]+m)%m, " \n"[j == n]);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/11128622.html