线性筛素数

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Lattexiaoyu/archive/2012/07/13/2589788.html

本文详细介绍了线性筛素数算法的基本思想与实现过程。通过确保每个合数仅被筛一次，达到线性时间复杂度。文章还提供了具体的实现代码，并解释了如何确定以某个数为最大因数的所有数。

　　线性筛素数的基本思想是：每个合数只被筛一次，将被其最大因数筛掉。

　　假设我们依据flag数组从小到大判断每个数是否是素数，如果当前该数还未被筛掉，那么就是素数，因为在比它小的数中没有发现因数，将素数加入素数表中。对每一个数i（不论素数或合数），用它筛掉flag数组中以它为最大因数的数。因为每个数只去筛以它为最大因数的数，所以每个合数只会被一个数筛，就是它的最大因数，以此达到线性的复杂度。

　　假设当前的数是i。以i为最大因数的数是哪些呢？这些数必然是i乘上一个比它小的素数（如果该数是i乘上一个比它大的素数，显然i不会是该数的最大因数；如果是i乘上一个合数x = p1*p2*...*pk （pi为素数），显然通过将x的一些素因数与i相乘会得到比i大的因数）。

　　假设i可以表示为素数乘积：i = p1*p2*...*pn，x是一个比i小的素数（x显然已经被筛出来了，在我们的素数表中），其中i最小的素因数是p1。i只有与当前素数表中p<=p1的素数相乘，得到的数y才以i为最大因数。反证：如果i乘上pm得到y = i*pm，且pm>p1，那么y有因数y/p1 > i = y/pm。

　　所以对每一个数i，乘上素数表中不大于i的最小素因数p1的素数，将得到的数从flag数组中筛去，我们就可以在线性的时间复杂度下得到一个素数表。

　　代码：

 1 int flag[10001],p[10001],pnum;
 2 
 3 void createP(){
 4     pnum=0;
 5     for(int i=0; i<=10000; i++){
 6         flag[i]=0;
 7     }
 8     for(int i=2; i<=10000; i++){
 9         if(flag[i]==0){
10             p[pnum++]=i;
11         }
12         for(int j=0; j<pnum && p[j]*i<=10000; j++){
13             flag[p[j]*i]=1;
14             if(i%p[j]==0)
15                 break;
16         }
17     }
18 }

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