SPOJ (BNUOJ) LCM Sum

最新推荐文章于 2021-11-22 19:45:41 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/372465774y/archive/2012/10/25/2740066.html

本文探讨了LCMSum问题的求解方法，通过优化欧拉函数的计算过程，提出了一个高效的算法来解决LCMSum问题。文章详细介绍了算法的设计思路、复杂度分析以及通过实例展示算法的有效性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LCM Sum

Time Limit: 5000 ms Case Time Limit: 5000 ms Memory Limit: 262144 KB
Submit: 4 Accepted: 0 This problem will be judged on SPOJ. Original ID: LCMSUM.

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Description

Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.

Input

The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n.

Output

Output T lines, one for each test case, containing the required sum.

Example

Sample Input :
3
1
2
5

Sample Output :
1
4
55

Constraints

1 <= T <= 300000
1 <= n <= 1000000

Input

Output

Sample Input

Sample Output

Source

own problem used for Codechef Snackdown Onsite
卡时卡的好紧

//思路 欧拉函数
gcd(i,n)=k 求出所有的这样i的和 n*(phi[n/k]*(n/k)/2)*k
lcm(i,n)=i*n/k;  所以 所有这样的i sigma(lcm(i,n))=n*[n*(phi[n/k]*(n/k)/2)8k]/k
整理得 n*n*phi[n/k]/2/k 然后sqrt(n) 时间复杂度是 预处理欧拉函数时间+Qsqrt（N）,这个超时、、、
然后再整理，(i|n)  sigma(lcm(i,n))=n*(n/k)*phi[n/k]/2; 把n/k 看成a 则 =n*a*phi[a]/2
这样就可以预处理所有的 lcm（i，N） 1<=i<=N 值， 输出直接是O（1）； 
// 
超时代码
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 1000001
int phi[N];
#define __int64 long long
void set()//求欧拉函数
{
    int i,j;
    for(i=2;i<N;i++)
      if(i%2)
        phi[i]=i;
      else
        phi[i]=i/2;
    for(i=3;i<N;i+=2)
     if(phi[i]==i)
       for(j=i;j<N;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
int main()
{
    set();
    int T;
    int m;
    __int64 n;
    __int64 sum;
    scanf("%d",&T);
    int i;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(n==1) { printf("1\n");continue; }
        m=sqrt((double)n);
        sum=n*n*phi[n]/2;
        for(i=2;i<=m;i++)
         if(n%i==0)
         {
             sum+=n*n*phi[n/i]/2/i;
             if(i*i<n)
             {
                 sum+=n*n*phi[i]/2/(n/i);
             }
         }
         sum+=n;
        printf("%lld\n",sum);

    }
    return 0;
}




AC 代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 1000001
#define __int64 long long
__int64 phi[N];
__int64 ans[N];

void set()
{
    __int64 i,j;
    for(i=2;i<N;i++)
      if(i%2)
        phi[i]=i;
      else
        phi[i]=i/2;
    for(i=3;i<N;i+=2)
     if(phi[i]==i)
       for(j=i;j<N;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
    ans[1]=1;
    for(i=2;i<N;i++) ans[i]=i*phi[i]/2+1;
    __int64 k;//开始变量定义成int 计算过程中导致超过 int范围
    for(i=2;i<=1000;i++)
     {
         ans[i*i]+=i*phi[i]/2;
         for(j=i*i+i,k=i+1;j<N;j+=i,k++)
           ans[j]+=i*phi[i]/2+k*phi[k]/2;
     }
}
int main()
{
    set();
    int T;
    int n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",ans[n]*n);

    }
    return 0;
}