[Bzoj3209]花神的数论题（数位dp）

最新推荐文章于 2025-09-12 17:31:31 发布

转载最新推荐文章于 2025-09-12 17:31:31 发布 · 90 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/lzdhydzzh/p/8629140.html

文章标签：

#数据结构与算法

本文介绍了一道名为“花神的数论题”的算法挑战题，该题要求计算给定正整数N内所有数字二进制表示中1的数量的乘积，并给出了一种使用数位动态规划的方法来解决此问题的详细步骤及AC代码。

3209: 花神的数论题

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 2633 Solved: 1182
[Submit][Status][Discuss]

Description

背景

众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一

Sample Output

样例输出一

HINT

对于样例一，1*1*2=2；

数据范围与约定

对于 100% 的数据，N≤10^15

Source

原创 Memphis

题解：

求一个数二进制有多少个1，再加上数据范围，很显然让我们做数位dp。

然后我们发现不能一起转移，但我们可以求出<=N中 1的个数为k的所有数

最终答案就是

。

关于dfs那个转移，就是很裸的模板题，看代码即可。

AC代码：

 
# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 10000007;
LL f[64][64],n;int data[64],len;
LL dfs(int now,int num,bool lim,bool first)
{
    if(num < 0)return 0;
    if(!now)return !num;
    if(!lim && !first && f[now][num] != -1)return f[now][num];
    LL ret = 0;int p = lim ? data[now] : 1;
    for(int i = 0;i <= p;i++)
    ret += dfs(now - 1,num - i,lim && i == p,first && !i);
    if(!lim && !first)f[now][num] = ret;
    return ret;
}
LL cmd(LL k,LL x)
{
    LL c = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1LL)c = c * x % mod;
        x = x * x % mod;
        k >>= 1LL;
    }
    return c;
}
LL calc(LL k)
{
    memset(f,-1,sizeof f);
    len = 0;
    while(k)data[++len] = k % 2,k /= 2;
    LL ret = 1;
    for(int i = 1;i <= len;i++)
    ret = ret * cmd(dfs(len,i,true,true),i) % mod;
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    printf("%lld\n",calc(n));
}