HDU1659-GCD-容斥原理

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原文链接：http://www.cnblogs.com/helica/p/5197932.html

本文介绍了一种算法，用于计算在给定范围内选择两个数x和y时，使得它们的最大公约数等于指定值k的数对数量。通过分解质因数并使用容斥原理进行求解。

从1-a和1-b种选两个数xy，计算出令gcd(x,y)=k的xy的对数。

对于每一个i∈[1,b]使用solve(i,n)函数解决有几个j∈[1,n]使gcd(x,y)=k。然后累加solve(i,n)-solve(i,i)即可，注意边界情况。

solve函数则使用容斥原理。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 100100;
int T,a,b,c,d,k;
long long ans;
int prime[maxn];

void init()
{
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]<=maxn/i;j++)
        {
            prime[prime[j]*i] = 1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int factor[100];
int fatCnt;

int getFactors(int x)
{
    fatCnt = 0;
    int tmp = x;
    for(int i=1;prime[i]<=tmp/prime[i];i++)
    {
        if(tmp%prime[i] == 0)
        {
            factor[fatCnt] = prime[i];
            while(tmp%prime[i] == 0)
            {
                tmp/=prime[i];
                //factor[fatCnt] *= prime[i];
            }
            fatCnt++;
        }
    }
    if(tmp != 1)
    {
        factor[fatCnt++] = tmp;
    }
    return fatCnt;
}

long long solve(int x,int n)
{
    int np = getFactors(x);
    int cnt,lcm;
    long long res = n/k;

    //printf("x=%d n=%d np=%d \n",x,n,np);
    for(int i=1;i<(1<<np);i++)
    {
        cnt=0;lcm=1;
        int flag = 0;
        for(int j=0;j<fatCnt;j++)
        {
            if((1<<j) & i)
            {
                lcm *= factor[j];
                cnt++;
            }
        }
        lcm *= k;
        cnt++;

        if(cnt&1)
            res += n/lcm;
        else
            res -= n/lcm;
    }
    //printf("res=%d\n",res);
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    init();
    for(int kase=1;kase<=T;kase++)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("Case %d: ",kase);
        if(k == 0) {printf("0\n");continue;}
        if(d > b) swap(d,b);

        ans = 0;
        for(int i=c;i<=d;i++) if(i%k == 0)
        {
            ans += (solve(i/k,b)-solve(i/k,i));
            if(i == k) ans++;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}