2017 ACM Arabella Collegiate Programming Contest

两道编程题解析

最新推荐文章于 2019-04-02 22:37:26 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/lijingze8/p/7207400.html

本文解析了两道编程竞赛题目，一是通过奇偶分析和前缀和解决的Sherlock Bones问题，二是运用博弈论和构造策略解答的Competitive Seagulls问题。

Gym101350A. Sherlock Bones

题目大意： 给定一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 序列 \(\{s_n\}\)，定义 \(F(i, j)\) 表示序列第 \(i\) 项到第 \(j\) 项之间 \(1\) 的个数。求有多少个三元组 \((i, j, k)\) 满足 \(i < j < k\) 且 \(F(i, j) = F(j, k)\) 且 \(s_j = 1\)。

数据范围： \(3 \leq n \leq 2 \times 10^5\)

简要题解： 注意到对于一个合法的三元组 \((i, j, k)\)，则 \(F(i, k) = 2F(i, j) - 1\) 必为奇数。而对于任意的 \(F(i, k)\) 为奇数，其对应的 \(j\) 所在的位置是唯一的。这意味着我们只要统计有多少二元组 \((i, k)\) 满足 \(F(i, k)\) 为奇数即可，用前缀和可以方便地统计。

时空复杂度： \(O(n) - O(n)\)

关键字： 奇偶分析，前缀和

Gym101350E. Competitive Seagulls

题目大意： \(n\) 只海鸥排成一排，设当前最长连续海鸥段的长度为 \(L\)，令 \(P\) 为质数且 \(P \leq \lceil \dfrac{L}{2} \rceil\)，若不存在满足条件的质数，那么 \(P\) 取 \(1\)。现在有两个人轮流取走海鸥，每次可以取走连续的 \(P\) 只，其中 \(P\) 满足上述条件，无法再取走海鸥的人输。问先手是否有必胜策略。

数据范围： \(1 \leq n \leq 10^7\)

简要题解： 当 \(n = 2, 3\) 时，显然先手必败。当 \(n \geq 4\) 时，若 \(n\) 为偶数，那么先手先取走最中间两只海鸥，则所有的海鸥恰好被分割成左右对称的两段，此时，后手如何取，先手只要对称地取即可，故先手有必胜策略，若 \(n\) 为奇数，则先手先取走最中间的三只海鸥，其余同上。

时空复杂度： \(O(1) - O(1)\)

关键字： 博弈，构造

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