浅谈欧拉函数 By cellur925

最新推荐文章于 2024-09-15 00:34:32 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/nopartyfoucaodong/p/9757946.html

本文深入解析欧拉函数φ的基本性质与两种求解方法，包括质因数分解及线性筛法，并附带代码实例，适用于数学算法学习与竞赛准备。

1.某神犇Blog 学了三遍的欧拉函数φ--DEADFISH7

2.我要做一些补充o(*￣▽￣*)o

　　$φ(1)=1$；

　　公式有两种形式，一种有太多除法，实际可能会慢些。通用

　　对于任意$n$>1,1~$n$中与$n$互质的数之和等于$n*φ(n)/2$。

　　是积性函数。

　　$sigma(d|n) φ(d)=n$。

代码实现

1°：朴素的质因数分解顺便求出

void init_phi()
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
        if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    }
}

适用于单个查询的情况，但是效率有点低，$O(sqrt(n))$，嘤。

2°：线性筛素数，顺便把欧拉函数也整出来。（适用于递推，连续1~n）

在线性筛板子上稍加修改即可，复杂度$O(n)$。

void init_phi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if(v[i]==0)
        {
            prime[++m]=i;
            v[i]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>lim/i) break;
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j] ? prime[j]-1 :prime[j]);
        }
    }
}