线段树(segment tree)

最新推荐文章于 2024-11-06 15:33:33 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/qionglouyuyu/p/4850774.html

本文介绍了如何利用线段树技术优化查询任意矩阵子矩阵范围内的最大公约数（GCD），减少查询时间复杂度，同时保持较低的空间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

线段树是一棵二叉树，记为T(a, b)，参数a,b表示区间[a,b]，其中b-a称为区间的长度，记为L。

数据结构：

struct Node
{
    int   left,right;  //区间左右值
    Node   *leftchild;
    Node   *rightchild;    
};

线段树的建立：

Node   *build(int   l ,  int r ) //建立二叉树
{
    Node   *root = new Node;
    root->left = l;
    root->right = r;     //设置结点区间
    root->leftchild = NULL;
    root->rightchild = NULL;

    if ( l +1< r ) //L>1的情况，即不是叶子结点
    {
       int  mid = (r+l) >>1;
       root->leftchild = build ( l , mid ) ;
       root->rightchild = build ( mid  , r) ; 
    } 
    return    root; 
}

插入一条线段[c,d]：

增加一个cover的域来计算一条线段被覆盖的次数，在建立二叉树的时候应顺便把cover置0。

void  Insert(int  c, int d , Node  *root )
{
       if(c<= root->left&&d>= root->right) 
           root-> cover++;
       else 
       {
           //比较下界与左子树的上界
           if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild  ); 
           //比较上界与右子树的下界
           if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild  );
//注意，如果一个区间横跨左右儿子，那么不用担心，必定会匹配左儿子、右儿子中各一个节点
       }
}

删除一条线段[c,d]:

void  Delete (int c , int  d , Node  *root )
{
       if(c<= root->left&&d>= root->right) 
           root-> cover= root-> cover-1;
       else 
       {
          if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild  );
          if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );
       }
}

QUESTION：

Given a huge N*N matrix, we need to query the GCD(greatest common divisor最大公约数) of numbers in any given submatrix range（x1,y1,x2,y2）. Design a way to preprocess the matrix to accelerate the query speed. extra space should be less than O(N^2) and the preprocess time complexity should be as litte as possible.

SOLUTION：

For each row A[i] in the matrix A, we build a segment tree.The tree allows us to query GCD(A[i][a..b]) 第i行第a到b列（不包括b)的最大公约数in O(log n) time . The memory complexity of each segment tree is O(n), which gives us O(n^2) total memory complexity.

时间复杂度，O(n2)建立线段树， O(r * log(c)) 查找，其中r and c are the number of rows and columns in the query.

GCD的实现：被除数与余数对于除数同余，所以被除数与除数的GCD就是余数与除数的GCD，所以用递归或循环求解。

int a = 45, b = 35,tmp;
while(b!=0){
a = a%b;
tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
cout << a << endl;

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