P2563 [AHOI2001]质数和分解

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原文链接：http://www.cnblogs.com/five20/p/9235631.html

本文介绍了一种算法，用于计算一个给定的自然数n可以由多少种不同的质数之和的方式组成。通过筛法找出所有小于200的质数，并使用完全背包算法来解决该问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

任何大于 1 的自然数 n 都可以写成若干个大于等于 2 且小于等于 n 的质数之和表达式(包括只有一个数构成的和表达式的情况)，并且可能有不止一种质数和的形式。例如，9 的质数和表达式就有四种本质不同的形式：

9 = 2 + 5 + 2 = 2 + 3 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 7 。

这里所谓两个本质相同的表达式是指可以通过交换其中一个表达式中参加和运算的各个数的位置而直接得到另一个表达式。

试编程求解自然数 n 可以写成多少种本质不同的质数和表达式。

输入输出格式

输入格式：

文件中的每一行存放一个自然数 n(2 < n < 200) 。

输出格式：

依次输出每一个自然数 n 的本质不同的质数和表达式的数目。

输入输出样例

输入样例#1：

2
200

输出样例#1：

1
9845164

Solution：

　　AH省选的一道水题。

　　先筛出$200$以内的素数，然后对于每次询问$n$，等价于求不超过$n$的素数中选一些加起来等于$n$的方案数，直接跑一遍完全背包，改成计数就好了，状态$f[i]$表示$i$用素数组成的方案数，初始$f[0]=1$，那么状态转移方程就显而易见：$f[j]=f[j-prime[i]]+f[j]$。　　

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
int n,f[202],prime[202],cnt;
bool isprime[202];

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    For(i,2,200){
        if(!isprime[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=200;j++){
            isprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    while(cin>>n){
        memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;
        For(i,1,cnt) For(j,prime[i],n) f[j]+=f[j-prime[i]];
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}