Shuffle 洗牌 [AHOI 2005]

Description
　　为了表彰小联为 Samuel 星球的探险所做出的贡献,小联被邀请参加 Samuel 星球近距离载人探险活动。 由于 Samuel 星球相当遥远,科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间,小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后,大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的,将一叠 N(N 为偶数)张扑克牌平均分成上下两叠,取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张,然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张,再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张......如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠 6 张的扑克牌 1 2 3 4 5 6,进行一次洗牌的过程如下图所示: 从图中可以看出经过一次洗牌,序列 1 2 3 4 5 6 变为 4 1 5 2 6 3。当然,再对得到的序列进行一次洗牌,又会变为 2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的,如果给定长度为 N 的一叠扑克牌,并且牌面大小从 1 开始连续增加到 N(不考虑花色),对这样的一叠扑克牌,进行 M 次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第 L 张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利,你能帮助他吗?
Input
　　有三个用空格间隔的整数,分别表示 N,M,L (其中 0< N ≤ 10 ^ 10 ,0 ≤M ≤ 10^ 10,且 N 为偶数)。
Output
　　单行输出指定的扑克牌的牌面大小。
Sample Input
　　6 2 3
Sample Output
　　6

 

Analysis
观察题目中的序列,发现每次变换的规律是
　　x ' = 2x(mod    n + 1)
那么,我们用 X,L 分别表示起始和终止位置,则有
　　X   *   (2 ^m ) ≡  L   (mod    n + 1)  (1)
显然我们要消掉 2 ^m ,则求出 2 在模n + 1下的数论倒数(逆元) t
　　2t ≡ 1    (mod    n + 1)
化简为
　　2t = 1 + λ(n + 1)
解得
　　t = ( n/2+ 1)
所以(1) 式可化为
　　X * (2 ^m ) ∗ (t ^m ) ∗≡ L ∗ (t ^m )    (mod    n + 1)
即
　　X ≡ L ∗ (t ^m )    (mod    n + 1)
剩下,只需使用快速幂得求出 X

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