最长上升子序列(LIS)模板

最新推荐文章于 2025-01-15 15:27:42 发布

转载最新推荐文章于 2025-01-15 15:27:42 发布 · 71 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/L-King/p/5322683.html

本文详细介绍了最长递增子序列问题的核心概念、解决思路和两种不同复杂度的算法实现，包括动态规划方法和O(n^2)的简单算法，并通过示例代码展示了解决过程。

最长递增(上升)子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增(上升)子序列。

考虑两个数a[x]和a[y]，x>y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[x]一样时，尽量选择更小的a[x].

按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t](dp[t]=k)}。

这时注意到d的两个特点（重要）：

1. d[k]在计算过程中单调不升；

2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。

利用这两个性质，可以很方便的求解：

1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：

2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）

否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N=1111;
int d[N];
int bs(int a[],int l,int r,int key)
{
    while(l<r)
    {
        int mid=((l+r)&1)+(l+r)>>1;
        if(a[mid]<key)
            l=mid;
        else
            r=mid-1;
    }
    if(a[l]>=key)   return l-1;
    return l;
}
int LIS(int a[],int n)
{
    int i,tmp,len=1;
    d[1]=a[1];
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(d[len]<a[i])
            tmp=++len;
        else
            tmp=bs(d,1,len,a[i])+1;
        d[tmp]=a[i];
    }
    return len;
}
int main()
{
    int a[10]={-1,2,3,1,5,9,8};
    int tmp=LIS(a,6);
    printf("%d\n",tmp);
    for(int i=1;i<=tmp;i++)
        printf("%d ",d[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

LIS

这种算法的时间复杂度是O(nlogn),但是稍微难写了一点。下面的是O(n^2)，容易编写。

 1 int LIS(int *a,int n)
 2 {
 3     int i,j,ans=-1;
 4     memset(dp,0,sizeof(dp));dp[1]=1;
 5     for(i=2;i<=n;i++)
 6     {
 7         for(j=1;j<i;j++)
 8         {
 9             if(a[i]>a[j])
10             {
11                 if(dp[j]+1>dp[i])
12                     dp[i]=dp[j]+1;
13             }
14         }
15     }
16     for(int i=1;i<=n;i++)
17         if(dp[i]>ans)
18             ans=dp[i];
19     return ans;
20 }