CF578C Weakness and Poorness

weixin_30275415

于 2018-10-18 14:52:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/mrclr/p/9810469.html

本文探讨了一种算法，通过调整序列中每个元素减去的实数x，以最小化新序列的最大连续和与最小连续和绝对值的最大值。利用三分法搜索最优x值，并通过O(n)算法计算最大连续和。

嘟嘟嘟

题面：给一个序列中的，每一个数都减去一个实数x，使得到的新序列的max(最大连续和，|最小连续和|)最小。(|a_i| <= 10000)

感性的想想，会发现最大连续和随x变大而变小，最小连续和随x变大而变大。

严格的证明：首先对于任意区间[L, R]，|∑a_i - x|一定是一个绝对值函数，则最大连续和就是把所有[L, R]的函数复合在一起，然后取max，画图可知，也是一个单峰函数。(似乎也不怎么严格)

那么max(最大连续和，|最小连续和|)就是一个单峰函数，于是用三分求解。

至于最大连续和的求法，O(n)扫一遍即可，看代码就懂了。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<cctype>
 8 #include<vector>
 9 #include<stack>
10 #include<queue>
11 using namespace std;
12 #define enter puts("") 
13 #define space putchar(' ')
14 #define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
15 #define rg register
16 typedef long long ll;
17 typedef double db;
18 const int INF = 0x3f3f3f3f;
19 const db eps = 1e-8;
20 const int maxn = 2e5 + 5;
21 inline ll read()
22 {
23   ll ans = 0;
24   char ch = getchar(), last = ' ';
25   while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();}
26   while(isdigit(ch)) {ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
27   if(last == '-') ans = -ans;
28   return ans;
29 }
30 inline void write(ll x)
31 {
32   if(x < 0) x = -x, putchar('-');
33   if(x >= 10) write(x / 10);
34   putchar(x % 10 + '0');
35 }
36 
37 int n, a[maxn];
38 
39 db calc(db x)
40 {
41   db Min = 0, Max = 0, ans = 0;
42   for(int i = 1; i <= n; ++i)
43     {
44       Min = Min + a[i] - x > 0 ? 0 : Min + a[i] - x;
45       Max = Max + a[i] - x < 0 ? 0 : Max + a[i] - x;
46       ans = max(ans, max(Max, -Min));
47     }
48   return ans;
49 }
50 
51 int main()
52 {
53   n = read();
54   for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
55   db L = -10000, R = 10000, x;
56   for(int i = 1; i <= 100; ++i)
57     {
58       db m1 = L + (R - L) / 3.00;
59       db m2 = R - (R - L) / 3.00;
60       if(calc(m1) <= calc(m2)) x = m1, R = m2;
61       else x = m2, L = m1;
62     }
63   printf("%.8lf\n", calc(x));
64   return 0;
65 }