#503. 「LibreOJ β Round」ZQC 的课堂容斥原理+Treap

最新推荐文章于 2020-03-21 14:47:52 发布

weixin_30268071

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Skyminer/p/7124354.html

本文介绍了一种使用Treap数据结构解决特定坐标轴穿越计数问题的方法。通过维护两个Treap来分别处理x轴和y轴的穿越情况，实现对坐标轴穿越次数的有效计算。文章详细阐述了解决方案的思路、数据结构的设计及具体实现。

题目:

题解:

比较容易发现 : \(x,y\) 的贡献是独立的。
所以可以分开考虑。
假设我们考虑 \(x\).向量在 \(x\) 方向的投影依次是 : \(\{a_1,a_2, ... ,a_n\}\)
那么在点 \(i\) 时候的 \(x\) 坐标即 : \(1 + \sum_{k=1}^ia_i\)，设 \(s_i = \sum_{k=1}^ia_i\)
那么贡献即 : \(\sum_{i=1}^[(1+s_{i-1})*(1+s_i) < 0]\)
也就是 : \(\sum_{i=1}^n [max\{s_i,s_{i-1}\}>0 \space \space \&\& \space \space min\{s_i,s_{i-1}\} < 0]\)
考虑容斥原理，我们可以得到 :
\[n - \sum_{i=1}^n[max\{s_i,s_{i-1}\}<0] - \sum_{i=1}^n[min\{s_i,s_{i-1}\}>0]\]
还有 :
\(\sum_{i=1}^n [max\{s_i,s_{i-1}\}<0 \space \space \&\& \space \space min\{s_i,s_{i-1}\} > 0]\) \(?\)
不存在的

~~所以用 Splay 支持单点修改,区间加上一个数和统计小于/大于零的数的个数。~~
~~分别维护即可。~~

后来又去写才发现自己想简单了。
按照序列序插入做和按照权值插入做都不能简单的直接应用到全局。
正确的姿势是维护一个偏移量，表示插入到Treap中的点和实际上的点偏差了多少。

所以我们可以只将操作指针右侧的点全部插入到Treap中，并且在外面记录所有在Treap中的元素与实际的相差了多少。
怎么处理每个元素实际上的偏差并不是全局的偏差？
插入的时候让这个元素向反方向偏移一下再插入，然后就可以保证所有Trie中的元素偏移量都一样了。
对于所有指针左边的点，我们知道我们修改的时候不会对左边的东西造成任何影响。
所以可以直接维护终坐标和在这段时间内跨越坐标轴的次数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pa;
inline void read(int &x){
    x=0;static char ch;static bool flag;flag = false;
    while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
    while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
#define rg register int
#define rep(i,a,b) for(rg i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(rg i=(a);i>=(b);--i)
#define mk(x,y) make_pair(x,y)
#define fst first
#define snd second
const int maxn = 100010;
struct Treap{
    struct Node{
        Node *ch[2];
        int w,siz,fix;
        void update(){
            siz = ch[0]->siz + ch[1]->siz + 1;
        }
    }*root,mem[maxn],*it,*null;
    Node *ws[maxn];int top;
    inline void init(){
        it = mem;null = it ++ ;
        null->ch[0] = null->ch[1] = null;
        null->siz = 0;null->fix = 0x3f3f3f3f;
        root = null;
    }
    inline Node* newNode(int x){
        Node *p = top ? ws[top--] : it ++ ;
        p->ch[0] = p->ch[1] = null;
        p->siz = 1;p->fix = rand();
        p->w = x;return p;
    }
    inline void rotate(Node* &p,int k){
        Node *x = p->ch[k^1];
        p->ch[k^1] = x->ch[k];
        x->ch[k] = p;
        p->update();x->update();
        p = x;return ;
    }
    void insert(Node* &p,int x){
        if(p == null){
            p = newNode(x);
            return ;
        }insert(p->ch[x >= p->w],x);
        if(p->ch[x>=p->w]->fix < p->fix)
            rotate(p,x<p->w);
        p->update();
    }
    void erase(Node* &p,int x){
        if(p->w == x){
            if(p->ch[0] != null && p->ch[1] != null){
                int k = p->ch[0]->fix < p->ch[1]->fix;
                rotate(p,k);
                erase(p->ch[k],x);
            }else{
                Node *y = p->ch[0] != null ? p->ch[0] : p->ch[1];
                ws[++top] = p;p = y;
            }
        }else erase(p->ch[x >= p->w],x);
        if(p != null) p->update();
    }
    inline void insert(int x){insert(root,x);}
    inline void erase(int x){erase(root,x);}
    inline int les(int x){
        Node *p = root;
        int res = 0;
        while(p != null){
            if(p->w > x) p = p->ch[0];
            else res += p->ch[0]->siz + 1,p = p->ch[1];
        }return res;
    }
    inline int gre(int x){
        Node *p = root;
        int res = 0;
        while(p != null){
            if(p->w < x) p = p->ch[1];
            else res += p->ch[1]->siz + 1,p = p->ch[0];
        }return res;
    }
    Treap(){init();}
}zsx[2],zsy[2];
pa a[maxn];
int X,Y,dx,dy,pot,n,ansx,ansy;
inline void move_right(){
    if(pot == n) return ;++ pot;
    zsx[0].erase(min(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
    zsy[0].erase(min(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
    zsx[1].erase(max(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
    zsy[1].erase(max(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
    if(X*(X+a[pot].fst) < 0) ++ ansx;
    if(Y*(Y+a[pot].snd) < 0) ++ ansy;
    X += a[pot].fst;Y += a[pot].snd;
}
inline void move_left(){
    if(pot == 1) return ;
    X -= a[pot].fst;Y -= a[pot].snd;
    if(X*(X+a[pot].fst) < 0) -- ansx;
    if(Y*(Y+a[pot].snd) < 0) -- ansy;
    zsx[0].insert(min(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
    zsy[0].insert(min(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
    zsx[1].insert(max(X-dx,X+a[pot].fst-dx));
    zsy[1].insert(max(Y-dy,Y+a[pot].snd-dy));
    -- pot;
}
inline void modify(){
    int x,y;read(x);read(y);
    if(X*(X-a[pot].fst) < 0) -- ansx;
    if(Y*(Y-a[pot].snd) < 0) -- ansy;
    X += x - a[pot].fst;
    Y += y - a[pot].snd;
    dx += x - a[pot].fst;
    dy += y - a[pot].snd;
    a[pot] = mk(x,y);
    if(X*(X-x) < 0) ++ ansx;
    if(Y*(Y-y) < 0) ++ ansy;
}
inline int query(){
    int res = n - pot - zsx[0].gre(-dx) - zsx[1].les(-dx) + 
        n - pot - zsy[0].gre(-dy) - zsy[1].les(-dy);
    return res + ansx + ansy;
}
int main(){
    srand(2619520);
    int q;read(n);
    X = Y = 1;
    rep(i,1,n){
        read(a[i].fst);read(a[i].snd);
        zsx[0].insert(min(X,X+a[i].fst));
        zsy[0].insert(min(Y,Y+a[i].snd));
        zsx[1].insert(max(X,X+a[i].fst));
        zsy[1].insert(max(Y,Y+a[i].snd));
        X += a[i].fst;Y += a[i].snd;
    }X = Y = 1;
    move_right();read(q);
    char ch;
    while(q--){
        while(ch=getchar(),ch<'!');
        if(ch == 'B') move_left();
        else if(ch == 'F') move_right();
        else if(ch == 'C') modify();
        else printf("%d\n",query());
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Skyminer/p/7124354.html