[POJ3613] Cow Relays

最新推荐文章于 2021-09-27 10:55:36 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/si-rui-yang/p/10159495.html

本文介绍了一种使用矩阵快速幂求解图中特定起点终点且经过固定数量边的最短路径问题的方法。通过定义状态dp(k,i,j)表示从节点i到节点j经过k条边的最小花费，利用矩阵乘法和快速幂优化计算过程，实现了高效求解。

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题目大意

给你一个含有边权的无向图，问从$S$到$T$经过$N$条边的最小花费。

试题分析

我们可以很容易推导$dp$方程,$dp(k,i,j)$表示经过$k$条边从$i$到$j$的最小花费。则，$dp(k,i,j)=min(dp(k-1,i,p)+dp(1,p,j))$。

而$(i,p),(p,j),(i,j)$发现了什么，这不是矩阵吗，$dp(1,i,j)$为初始矩阵($1$次幂),$dp(2,i,j)$为$2$次幂，$dp(3,i,j)$为$3$次幂，所以只需要矩阵快速幂一下即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int f=1,ans=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();}
    return f*ans;
}
const int MAXN=101;
struct matrix{
    int st[MAXN][MAXN];
}a,F,ans;
struct node{
    int u,v,w;
}x[MAXN];
int Map[1000001],n,k,m,S,T,cnt;
matrix mul(matrix s1,matrix s2){
    matrix s3;
    memset(s3.st,127/3,sizeof(s3.st));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int p=1;p<=n;p++){
                s3.st[i][p]=min(s3.st[i][p],s1.st[i][j]+s2.st[j][p]);
            }
    return s3;
}
matrix qpow(int b){
    if(b==0) return a;
    ans=a;
    while(b){
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);b>>=1;
    }return ans;
}
signed main(){
    k=read(),m=read(),S=read(),T=read();
    memset(a.st,127/3,sizeof(a.st));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int w=read(),u=read(),v=read();
        if(Map[u]==0) Map[u]=++cnt;
        if(Map[v]==0) Map[v]=++cnt;
        u=Map[u],v=Map[v];
        x[i].w=w,x[i].u=u,x[i].v=v;
        a.st[u][v]=a.st[v][u]=min(a.st[u][v],w);
    }
    n=cnt;
    F=qpow(k-1);
    printf("%lld",F.st[Map[S]][Map[T]]);
}
/*
2 3 1 3
1 1 2
1 2 3
1 1 3
*/